Шпаргалка по математике

Шпаргалка по математике предназначена в помощь абитуриентам при их подготовке к экзаменам в вуз, к единому государственному экзамену и к централизованному тестированию. Она составлена в соответствии с программой по математике для поступающих в вузы.
Является кратким справочником, содержащим основные математические определения, формулы, определенную символику, которые необходимо знать абитуриенту для того, чтобы успешно пройти испытания по математике.

Шпаргалка по математике

Шпаргалка по математике

Как отрезать от правильного треугольника отрезком данной длины треугольник максимальной площади?
Указание. Составьте из трех таких фигур шестиугольник с периметром вшестеро большим длины данного отрезка и примените теорему Зенодора.
 Как отрезать от правильного треугольника линией данной длины, пересекающей только две стороны, фигуру максимальной площади?
Указание. Составьте из шести таких фигур фигуру с периметром, вшестеро большим длины данной линии, и примените изопериметрическую теорему.
Разделить правильный треугольник на две части равной площади линией минимальной длины.
Указание. Составьте из шести таких фигур фигуру с площадью, равной половине площади содержащего ее правильного шестиугольника и примените изопериметрическую теорему.
Разделить квадрат на две части равной площади линией минимальной длины.
Указание. Провести в нем среднюю линию:).
2.9. «Задача Дидоны»
Среди всех фигур, ограниченных отрезком прямой данной длины и кривой линией данной длины наибольшую площадь имеет сегмент круга.
Среди всех фигур данной площади, ограниченных отрезком прямой данной длины и кривой линией наименьший периметр имеет сегмент круга.
Указание. Построим указанный экстремальный сегмент круга с данным основанием. Добавим к нему еще сегмент, дополняющий его до круга. Добавим тот же сегмент к произвольной фигуре с данными периметром и основанием. Получим фигуру с известным периметром. Максимальная площадь ее при данном периметре будет, когда она совпадет с кругом данного периметра.
Среди всех п—угольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет вписанный в окружность, у которого все остальные стороны равны.
Указание. Рассмотрим указанный экстремальный п—угольник и сегменты круга, которые он от него отрезает. К произвольному п—угольнику с данной стороной, данным периметром и равными остальными сторонами приклеим указанные сегменты ко всем его сторонам. Полученная фигура имеет периметр, равный периметру данного круга, поэтому ее максимальная площадь будет, когда она совпадет с этим кругом, т.е. п-угольник будет вписан в круг. Если же не все стороны п—угольника (отличные от данного основания) равны, то он не может быть экстремальным, так как соседние неравные стороны можно заменить на равные так, что периметр не изменится, а площадь увеличится.
Среди всех п—угольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет вписанный в окружность, у которого все остальные стороны равны.
Указание. Вывести из предыдущей задачи.
Глава 2. Неравенства для выпуклых фигур и тел
Как отрезать от длинного прямоугольника единичной ширины фигуру данного периметра и максимальной площади?
Выпуклая фигура данного периметра ограничена с трех сторон частью контура параллелограмма. В каком случае она имеет максимальную площадь?
2.10 Фигуры постоянной ширины
Для произвольной фигуры М обозначим Ьм(Ф) ширину проекцию этой фигуры на прямую, выходящую под углом ф из начала координат. Функция Ьм{Ф) очевидно определена на отрезке от нуля до 7Г и ее можно периодически продолжить на всю числовую ОСЬ С периодом 7Г. Очевидно, что минимум этой функции равен ширине фигуры М.
Более подробно о фигурах постоянной ширины можно прочитать в [59, 77].
При нечетном п рассмотрим пересечение п кругов с центрами в вершинах правильного п—угольника, радиус которых равен диаметру этого п—угольника. Докажите, что эта фигура (называемая п— угольником Рело) содержит в себе данный правильный п—угольник, является выпуклой, имеет во всех направлениях одинаковую ширину Ь, равную диаметру данного правильного п—угольника, и ее периметр равен ттЪ.
Докажите, что диаметр фигуры постоянной ширины равен ее ширине.
Указание. Примените задачу 22.
Фигура называется полной, если при добавлении к ней любой новой точки ее диаметр увеличивается.
Докажите, что любая опорная прямая к фигуре постоянной ширины пересекается с ней ровно в одной точке (точке касания). Если провести параллельно данной опорной прямой
еще одну опорную прямую и соединить их точки касания, то полученный отрезок будет диаметром фигуры, перпендикулярным к эти опорным прямым.
Указание. Примените задачу 327.
Следующая теорема принадлежит немецкому математику Майсснеру.
Теорема 26 (Майсснер). Любая фигура постоянной ширины является полной и наоборот.
Ее доказательство можно найти в [11].
Следующие две теоремы принадлежат уже упоминавшемуся Ю. Палу.
Теорема 27 (Пал). Любая фигура диаметра D содержится в фигуре постоянной ширины D.
Теорема 28 (Пал). Вокруг фигуры постоянной ширины D можно описать правильный шестиугольник ширины D.
 Докажите, что если фигура постоянной ширины цент-рально-симметрич на, то это круг.
Указание. У центрально-симметричной фигуры ширина равна удвоенному внутреннему радиусу, а диаметр — удвоенному внешнему радиусу. Примените задачу 388.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов