Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы

Сборник задач по математике с решениями 8-11 классы. В книге представлены задачи по всем разделам школьного курса математики, выбранные авторами из широко известного «Сборника задач» под редакцией М.И. Сканави. Задачи разбиты на две группы по уровню сложности и сопровождаются подробными решениями и указаниями. Пособие будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к зачетам, контрольным и проверочным работам, а также к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.

Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы

Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы

В пособии собрано много наводящих вопросов, которые могут помочь читателю в поиске решения задач.
После того как решили некоторую задачу, с подобной ей можно справиться тем же способом. Советы, наводящие вопросы пригодятся для новой задачи, способ решения которой (всей или ее части) ученику неизвестен.
Знаменитый математик и педагог Д. Пойа (1887- 1985) был, по-видимому, первым после Р. Декарта, кто опубликовал рекомендации по решению задач. После его книги «Как решать задачу» вышло немало книг и статей на эту тему. Некоторые из них указаны в списке литературы. Освоение литературы принесет пользу. Но главное — самостоятельное решение новых задач.
Умение решать задачи (и формулировать их, и уточнять!) необходимо и экономисту, и врачу, и юристу, и военачальнику, и многим другим. А для успешного решения, как говорил Декарт, необходим метод.
Предлагаемые рекомендации не сказочный ключ к решению любой задачи, но они направляют мысль, сокращают время поиска, формируют навыки решения. К рекомендациям даны подробные пояснения и показано решение более 40 задач.
Конечно, советы, приемы и идеи решения нужно усвоить, но пока этого не произошло, списками рекомендаций можно пользоваться как памяткой. В книге приведены четыре списка рекомендаций, соответствующих основным этапам решения:
1. Изучение задачи.
2. Поиск решения.
3. Осуществление плана решения, обоснование и проверка.
4. Заключительный этап.
Автору приходилось объяснять эти рекомендации, отвечать на вопросы. Пояснения построены в форме диалога с читателем. Материалы данного пособия прошли многократную проверку.
Автор благодарит всех коллег, оказавших помощь в работе над рукописью.
1. Изучение задачи
Все рекомендации, предложенные в этой главе, преследуют одну цель: помочь досконально изучить задачу. Без этого нельзя рассчитывать на успех в ее решении.
Рекомендации
Первые шаги
1.1. Узнать, что дано: какие заданы объекты (элементы), как они связаны между собой. Вспомнить что о них известно (их свойства и признаки).
1.2. Разделить все, что дано, на отдельные части — их называют условиями задачи.
1.3. Понять, что надо найти или доказать: какие объекты требуется определить, как они связаны между собой, как они связаны с данными объектами, какое свойство надо установить. Вспомнить все, что о них известно.
1.4. Разделить все, что надо найти, на отдельные части — их называют требованиями, или вопросами, задачи.
1.5. Понять, как выглядит конечный результат, что он собой представляет, от чего зависит. Например, если надо найти число, полезно прикинуть, чему оно может быть равно.
1.6. Записать условия и требования задачи и проверить, все ли они записаны.
1.7. Убедиться, что поняты каждое слово, каждый термин текста задачи. Заменить математические термины их определениями.
Дальнейшее изучение задачи
1.8. Если данные или искомые элементы не обозначены, обязательно ввести подходящие обозначения для символической записи всех условий и требований задачи.
1.9. Построить модель задачи: нарисовать схему, составить уравнение, сделать чертеж (рисунок).
Чертеж должен быть точным, не мелким, не для частного случая. В чертеж вносится все, что дано в условии, и все, что известно про данные и искомые элементы. Желательно выделить данные элементы, например обвести их пожирнее или отметить другим цветом, данную точку обвести кружком.
7Решение некоторых стереометрических задач значительно облегчается, если сделать модель из спичек и пластилина. Спички обламывают так, чтобы их длины были примерно пропорциональны размерам, указанным в задаче. Иногда часть чертежа, например какое-то сечение, целесообразно построить отдельно (выносной чертеж).
1.10. Определить, при каких ограничениях задача имеет смысл. Например, найти область допустимых значений — ОДЗ.
1.11. Определить: являются ли условия достаточными для решения задачи? Или чрезмерными? Или противоречивыми? Имеет ли смысл то, что требуется доказать?
Пояснения
Зачем нужны рекомендации?
Нелегко искать нужную вещь в темноте. Бывает, и не найдешь. А с фонариком — совсем другое дело. Освоив рекомендации, легче вести поиск решения задачи. Проверено на практике.
Обязательно ли выполнять все рекомендации?
Рекомендация не приказ. Выбор действий всегда за тем, кто решает задачу. Кроме того, не все предлагаемые действия (построить чертеж, составить уравнение и др.) нужны в каждом случае. Список советов и вопросов составлен так, чтобы учесть часто встречающиеся ситуации.
Что такое объект?
Это то, на что направлено наше внимание. В одной задаче говорится о скорости автомобиля, в другой — о длине отрезка, в третьей — о количестве гектаров. Нужно было назвать эти разные предметы одним словом, например объекты или элементы.
Как различать свойства и признаки?
— Умение их различать очень важно при решении задачи. Когда объект (предмет) известен, то мы знаем (вспоминаем), какими свойствами данный объект обладает. Если же мы только пытаемся распознать его, тогда мы пользуемся признаками. Например, вода -жидкая. Но и молоко обладает этим свойством. Если известно, что в бидоне что-то жидкое, то нельзя судить о том, что именно находится в бидоне. А признак — это безошибочное средство для опознания.
— Как отпечатки пальцев?
— Совершенно верно. Сравним два предложения.
А: Противолежащие стороны прямоугольника равны.
Б: Если хотя бы один из множителей делится на данное число, то и все произведение делится на это число.
В предложении А прямоугольник уже дан по условию, и оно отвечает на вопрос: «Каким свойством обладают его стороны?» Предложение Б подсказывает: «Как узнать, делится ли произведение на данное число?» Например, как узнать, делится ли число 23023 на 77? 23023 — это произведение двух множителей — 23 и 1001. Проверим множитель 1001. Он делится на 77, значит, и произведение, согласно предложению Б, тоже делится на 77. Следовательно, предложение Б — это признак для опознания.
Если, например, в условии задачи дано, что ABCD — прямоугольник, придется вспомнить все его свойства.
— Зачем все?
-Неизвестно, какое из них пригодится, чтобы прийти к цели. А когда нам нужно доказать, что ABCD — прямоугольник, т.е. это еще неизвестно, тогда придется вспомнить все его признаки.
Зачем разделять условие на части?
Чтобы использовать условия, надо сначала их выделить. Бывают задачи с простой формулировкой. А если задача непростая? Нередко мы запоминаем лишь часть условия, а другая остается вне нашего внимания. И когда решить задачу не удается, причина очень часто в том, что не усвоено какое-то условие или какое-то требование.
На вопрос «Что дано?» можно ответить не задумываясь. Просто повторить текст. А чтобы ответить на вопросы: «Какие заданы объекты? Что о них известно? Как они связаны между собой?», -придется разбираться, вникать. Вопросы конкретные.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов