Сборник задач по математике для поступающих во втузы

Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Сборник состоит из двух частей: «Арифметика, алгебра, геометрия» (часть I); «Алгебра, геометрия (дополнительные задачи). Начала анализа. Координаты и векторы» (часть II). Все задачи части I разбиты на три группы по уровню сложности. В каждой главе приведены сведения справочного характера и примеры решения задач. Ко всем задачам даны ответы.
Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы

Сборник задач по математике для поступающих во втузы

Просматривая ещё раз разобранные выше задачи с параметром (которые принято относить к категории прямых задач), несложно обратить внимание на то, что при их решении мы всегда поступали так, как поступали бы, если бы вместо параметра стояло конкретное число. Конечно, от этого числа многое зависит: как расположены на числовой оси нули подмодульных выражений; попадают или нет решения задачи в исследуемый промежуток; в каких пределах может меняться выражение, зависящее от параметра и т. д. В результате нужно было предусматривать различные случаи, но в каждом из них наши действия были аналогичны действиям с числами.
Разобравшись с принципами решения таких задач, перейдём к изучению задач другого класса, в которых вопросы поставлены так, что подчас не требуется проведения решения при всех значениях параметра а и даже не всегда нужно находить сами корни.
Пример 22 (ВШЭ, 1995). Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2|x + 3|-2|x-2| + |x-4| = х + 2а имеет ровно два корня.
Эту задачу, конечно, можно решать впрямую, т. е. при всех значениях а, выбрав в конце все нужные значения параметра. Но это довольно долго. Давайте освоим ещё один приём.
Перепишем исходное уравнение в виде 2|x+3|-2|x-2| + +|х-4| -х = 2а , в котором переменные «разделены»: слева функция только от х, справа — константа, зависящая от а. После
Обобщение. Усложнение. Совершенствование 51
этого построим график функции у = 2|л: + 3|-2|л:-2| +|д:-4|-;с ,
чётко зафиксировав интервалы монотонности и экстремумы.
В основе построения этого графика всё тот же метод интервалов, так хорошо уже изученный нами. На каждом из промежутков, границами которых будут нули подмодульных выражений, наша функция будет представлять из себя, очевидно, прямую. Например, при jc < -3 эта прямая будет иметь вид у = -2х-6 (монотонно убывающая до нуля функция). При х>4 она является константой у = 6. На оставшихся двух интервалах нам даже не нужно тратить время на определение выражения для функции, ведь прямая определяется двумя точками, а этими точками являются границы интервалов: г/(-3) = 0, 1/(2) = 10 , 1/(4) = 6 . Нарисуем теперь график функции, учтя при этом, что у(0) = 6 .
Чтобы завершить решение задачи, необходимо мысленно провести прямую у = 2а , параллельную оси абсцисс, и выяснить, при каких значениях 2а эта прямая пересекает построенный ранее график ровно в двух точках. Понятно, что это возможно либо когда 0 < 2а < 6 , либо когда 2а = 10 .
Ответ: (0;3)U{5}.
Пример 23. При каких значениях параметра а уравнение |x-l|+|x-a| = 3 имеет хотя бы одно решение?
Конечно, и здесь можно просто решить уравнение. Но решение получается довольно трудоёмкое. Если применять метод интервалов, требуется рассмотреть три случая взаимного расположения точек 1иа: а > 1 ; а < 1; а = 1 (в каждом из которых, в свою очередь, рассматриваются несколько промежутков).
Наверное, лучше рассмотреть четыре системы:
Но, как уже было сказано, если условие задачи не требует нахождения корней, то эти корни искать не обязательно.
Перепишем уравнение в виде |x-l|-3 = -|x-a| и воспользуемся графическим методом. График левой части получается из графика функции у = |я| сдвигом на 1 вправо и на 3 вниз. Функция у—\х-а\ получается из функции i/ = -|x| сдвигом на а вправо. Нарисуйте эти функции и убедитесь, что они пересекаются при а є [-2; 4]. Ответ: а є [-2; 4]
Отработаем описанную методику решения в более сложном случае.
Обобщение. Усложнение. Совершенствование
Пример 24 (МИЭМ). При каких значениях а уравнение (а + 4л: — я2 — l)(a +1 — |д: — 2|) = О имеет ровно три корня?
Решением этого уравнения при любых значениях параметра является совокупность решений двух более простых уравнений, каждое из которых удобно представить в виде f(x) = а:
xі -4х + 1 = а,
Если теперь построить графики функций, стоящих в левой части каждого из равенств, причём сделать это на одной координатной плоскости, то количество точек пересечения прямой у = а с этими двумя графиками и будет количеством решений исходного уравнения при конкретном значении параметра а.
Построение этих графиков — процедура несложная. Однако, надо отметить, что все характерные особенности графиков мы должны чётко обозначить. А именно, для параболы это координаты её вершины и точек пересечения с осями хну (если это «возможно»), для второй функции, которая представляет из себя два луча, исходящие из одной точки, безусловно, координаты этой точки, и также точек пересечения с осями. Кроме того, как правило, бывает необходимо найти координаты точек пересечения этих графиков между собой.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов