Решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем. Предлагаемое пособие будет интересно всем желающим самостоятельно повторить математику, поможет абитуриентам освоить доступный для себя уровень подготовки и подготовиться как к ЕГЭ, так и к другим экзаменам. Большой набор задач разной сложности поможет при проведении занятий учителям школ (как базовых, так и специализированных), а также преподавателям кружков и подготовительных курсов.

Решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем

§5. ПАРАМЕТРЫ В ЗАДАЧАХ С МОДУЛЯМИ
Ещё один большой раздел, который, конечно же, давно соответствует вашему уровню восприятия материала (если вы смогли добраться до этого параграфа), — это параметры в задачах с модулями.
Обобщение. Усложнение. Совершенствование
Первый круг задач с параметрами — это так называемые прямые задачи — задачи, в которых необходимо решить уравнение или неравенство при каких-то (или всех) значениях параметра а. Как правило, эти задачи длинны и даже немного занудны. Однако, решая именно их, учащиеся начинают понимать суть этого нового для них понятия, привыкают к его особенностям, к многообразию различных случаев, которые сопровождают задачи с параметром. Покажем всё это на различных примерах.
Пример 15. Решить неравенство |х + 3|> -а2 при всех значениях параметра а.
Понятно, что т. к. модуль всегда неотрицателен, данное неравенство справедливо «практически всегда» для любого х, ведь -а2 <0 при а*0. Если же а = 0 неравенство не будет верным лишь при х — 3 .
В этой задаче на очень простом примере показано, как сравнивая множества значений функции, зависящей от переменной х со значением константы, которая в зависимости от числа а тоже изменяется в своих пределах, может изменяться и содержание задачи и соответственно её решение.
Пример 16. Решить уравнение |х| + х-а = 0 при всех значениях параметра а.
Уравнения такого рода можно решать как методом интервалов, так и по альтернативной схеме. Естественно, наличие параметра не влияет на выбор метода решения. Покажем это.
По методу интервалов получаем:
Видим, что здесь при а = 0 обе системы одним из решений имеют х = 0 . В итоговой совокупности это учтено.
Ответ: х = — при а> 0; хє(-со;0] при а = 0, хє0 при
а <0 .
Пример 17. Решить уравнение х2 +|х| + а = 0 при всех значениях параметра а.
В таких задачах всегда удобно, не раскрывая модуля на интервалах, заменить |х| на у, после чего выяснить, при каких а
уравнение уг+у + а= 0 будет иметь неотрицательные (это важно!) корни, найти их, а затем вернуться к переменной х и решить простейшее уравнение с модулем.
Корни это уравнение будет иметь при условии неотрицательности дискриминанта 1-4а>0, вид их в этом случае
Один из них, очевидно, отрицательный. Второй будет неотрицательным при а<0 (для получения этого результата необходимо либо воспользоваться теоремой Виета, либо решить простейшее иррациональное неравенство). В итоге:
Обобщение. Усложнение. Совершенствование __45
Как видим, решение такой задачи состоит из двух этапов. На первом из них уравнение решается методом интервалов. Полученные в процессе решения корни, разумеется, зависят от значений параметра а. При этом одно и то же значение а может возникать совершенно в разных «местах» решения. И на втором этапе мы объединяем полученные на разных промежутках решения, «отталкиваясь» от значений параметра а. Ещё раз взгляните, как выглядит ответ: при одном и том же а в ответ могут попадать значения х из разных промежутков.
Пример 19. Решить неравенство |3х-а| + |2х + а|<5 при всех
значениях параметра а.
Сложность этой задачи в том, что начиная решать её методом интервалов, мы сразу же вынуждены разбивать решение на несколько случаев, т. к. точки, в которых подмодульные выражения равны нулю (и соответственно меняют знак) в зависимости от значения параметра а могут располагаться по отношению друг к другу по-разному.
Обобщение. Усложнение. Совершенствование
Рассмотрим решение неравенства на каждом из интервалов
отдельно. Ещё раз обращаем ваше внимание: в этом случае точка находится левее нуля, а точка правее.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов