Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Актуальность подобных задач обусловлена появлением в новой версии ЕГЭ по математике 2010 года задач С6, которые связаны с рассматриваемой темой. В школьной программе эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике в старших классах. В пособии также рассматривается связанная с решением уравнений в целых числах тема делимости чисел.

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах

Содержание
Глава 1. Главные мнения 3
Глава 2. Диофантовы уравнения 13
2.1. Схожие прямолинейные уравнения 13
2.2. Разнородные прямолинейные уравнения 15
Глава 3. Дробно — оптимальные уравнения 20
Глава 4. Нелинейные уравнения 22
4.1. Деление в множители 22
4.2. Сопоставление левосторонной и справедливой долей уравнения сообразно модулю 27
4.3. Завершение долей уравнения в 1 и ту вот ведь цифру 33
4.4. Способ балла 33
4.5. Заключение квадратного уравнения условно одной изо неустойчивых 34
Глава 5.3адачи с факториалами 34
Беллетристика 38
Дополнение 1. Заключение тем в нелинейные уравнения в цельных количествах 39
Дополнение 2. Задачки, представляемые в точных олимпиадах в разных Университетах 51
Докажите, что симметризация множества не зависит от выбора точки О в том смысле, что при выборе другой точки новая симметризация получается параллельным переносом старой. Указание. Примените 316.
Докажите, что симметризация выпуклого множества — центрально-симметричное выпуклое множество. Если множество центрально-симметрично, то симметризация его не изменяет.
Докажите, что при симметризации множества его внешний радиус R не возрастает, а внутренний радиус г не убывает. Указание. Примените задачи 325, 326.
Докажите, что симметризацией треугольника является шестиугольник в полтора раза большей площади. Указание. Примените задачу 328.
Докажите, что симметризацией трапеции является шестиугольник.
Указание. Примените задачу 329.
Докажите, что симметризация выпуклого п- угольника является 2ш-угольником, где т < п. Равенство возможно лишь когда п- угольник не содержит параллельных сторон. Указание. Примените задачи 328, 329.
Докажите, что при симметризации выпуклого выпуклого множества его его диаметр и ширина не меняются. Указание. Примените задачи 324,327,318.
Докажите, что при симметризации выпуклого п- угольника его периметр не меняется.
Указание. Примените задачи 328, 329.
2.5. Изодиаметрические неравенства
Докажите, что при симметризации множества его внешний радиус R уменьшается не более чем в 2/л/3 раза. Равенство достигается лишь когда во множество М можно вписать правильный треугольник того же диаметра и внешняя окружность описана вокруг этого треугольника.
Указание. Применить теорему Юнга.
Докажите, что при симметризации множества его внутренний радиус г увеличивается не более чем в полтора раза. Равенство достигается лишь для правильного треугольника. Указание. Применить теорему Бляшке.
Решения большинства задач этого раздела можно найти, например в [77, 16, 17, 21].
2.5 Изодиаметрические неравенства
Правое неравенство следующей теоремы было доказано в 1922 г. немецким математиком К.Рейнхардтом [83]. Далее приводится более простое доказательство. Левое неравенство, по-видимому, было впервые указано в [21] (см. также [22]). Из [82] автор узнал, что в [78], вероятно не зная о [21, 22], также доказано неравенство, связывающее периметр и ширину. По-видимому, доказательство [78] сложнее, чем [21].
Теорема 13 (Рейнхардт). Пусть р периметр, Ь ширина и d диаметр выпуклого п-уголъника М. Тогда справедливы неравенства
Каждое из неравенств точное, если п ф 2к, к Є N.
Доказательство. Пусть М* — симметризация Минковского n-угольника М, т.е.
Тогда согласно задачам 335, 336, 337 множество М* есть центрально-симметричный выпуклый 2т-угольник, где т < п, с теми же периметром, диаметром и шириной что и у М. Согласно
Глава 2. Неравенства для выпуклых фигур и тел
задаче 25 из центральной симметричности М* следует, что его внутренний радиус г* — 6/2 и внешний радиус R* = d/2. Согласно задаче 234 последовательность п tg строго монотонно убывает, а последовательность п sin строго монотонно возрастает.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов