Повторяем математику за курс средней школы. Решение смешанных тестов

Решение смешанных тестов. Материал содержит подробные решения 35 смешанных тестов, условия которых можно увидеть в пособии «Повторяем математику за курс средней школы. Тестовые задания для 11 класса». Работа с развернутыми решениями тестовых заданий позволит систематически повторять и обобщать пройденное, так как содержание тестов охватывает ранее изученный материал. Кроме того, даже в случае полученного правильно ответа на то или иное тестовое задание полезно проанализировать предложенные решения и сравнить их со своими.

Повторяем математику за курс средней школы. Решение смешанных тестов

Повторяем математику за курс средней школы.

У четырехугольника существует невырожденный вписанный четырехугольник с минимальным периметром тогда и только тогда, когда он является описанным. В этом случае существует бесконечно много минимальных вписанных четырехугольников.
Указание. Частный случай задачи 279. Еще одно решение (предложенное Шварцем) можно получить, если развернуть стороны вписанного четырехугольника с одной фиксированной вершиной в четырехзвенную ломаную с фиксированными концами (для этого надо последовательно симметрично отражать большой четырехугольник от его сторон четыре раза) и заметить, что ломаная имеет минимальную длину, когда вырождается в отрезок прямой. Длины этих отрезков не зависят от выбора фиксированной вершины вписанного четырехугольника. Подобное рассуждение можно провести и для для любого п—угольника, но ломаная не всегда сможет превратится в отрезок прямой (это не получится, например, у тупоугольного треугольника). Подробности см. в [38, 59].
281. Если у n-угольника при нечетном п существует невырожденный вписанный п—угольник с минимальным периметром, то он определен однозначно.
Глава 2. Неравенства для выпуклых фигур и тел
Указание. У вписанного оптического п—угольника направления сторон при нечетном п определяются однозначно, как и углы, образованные ими со сторонами большого п—угольника.
282*. Для п—угольника с радиусом описанной вокруг него окружности R, центр которой лежит внутри него, и площадью S периметр вписанного в него п—угольника не меньше 2S/R. Равенство достигается для вписанного п—угольника, стороны которого перпендикулярны отрезкам, соединяющим центр описанной окружности с вершинами вписанного в нее п—угольника.
Указание. Соединим центр описанной окружности с вершинами вписанного п—угольника. Большой n-угольник разобьется на непересекающиеся четырехугольники. Их диагоналями являются стороны ai вписанного п—угольника и отрезки длины R, соединяющим центр описанной окружности с вершинами вписанного в нее п—угольника. Площадь каждого четырехугольника оценивается сверху как Rai/2, причем равенство возможно лишь когда его диагонали перпендикулярны. Равенство достижимо лишь для вписанного п—угольника, стороны которого перпендикулярны отрезкам, соединяющим центр описанной окружности с вершинами вписанного в нее п—угольника. Этот п—угольник существует, определяется однозначно и является «оптическим». Для остроугольного треугольника получаем доказательство теоремы Фаньяно, предложенное Н. А. Извольским [33].
283. Для тупоугольного (и прямоугольного) треугольника минимум периметров вписанных треугольников никогда не достигается.
Указание. Полупериметр вписанного треугольника может быть сколь угодно близок к минимальной высоте (т.е. ширине) треугольника.
Для тупоугольного треугольного биллиарда периодические траектории в общем случае, видимо, неизвестны.
284. Найдите периодическую траекторию для биллиарда в форме прямоугольного треугольника.
2.2. Экстремальные точки в выпуклых многоугольниках
Для выпуклого п—угольника при п > 4 минимум периметров вписанных треугольников со сторонами, не лежащими на его сторонах, никогда не достигается.
Для ромба периметр вписанного в него четырехугольника больше удвоенной минимальной диагонали и может быть сколь угодно близок к ней.
Указание. Минимальный периметр достигается у четырехугольника, который вырождается в треугольник с вершиной в вершине данного ромба, либо вырождается в минимальную диагональ. Рассмотрим первый случай, пусть ABCD — ромб, BEF
— треугольник с минимальным периметром, Е лежит на AD, F — на CD. Пусть ZDEF = a, ZEFD = /3, ZA — у. Так как ABEF — оптический, то ZAEB = a, ZCFB = /3. Применяя задачу 146, получаем, что а = (3 (откуда следует, что ABEF — равнобедренный и его ось симметрии совпадает с диагональю BD). Из свойств углов углов треугольника и параллелограмма имеем 7 = а + /3 — 2а, откуда 7г/2 < 7 < 27г/3, значит оптический треугольник BEF существует только, если BD — большая диагональ (из доказанного следует, что если BD — меньшая диагональ, то минимум периметра ABEF достигается, когда он вырождается в эту диагональ). В силу равенства ZAEF = ZACB четырехугольник АЕСВ — вписанный в окружность. Ее хорда АС стягивает дугу величины 2тт — 27, и хорда ЕВ стягивает дугу той же величины, значит ЕВ = АС (и для построения оптического треугольника BEF достаточно пересечь AD окружностью радиуса АС с центром В), откуда видно, что периметр ABEF больше 2|ЛС|.
Для произвольного четырехугольника неравенство задачи 286 неверно. Например, четырехугольник с углами 60,75,75,150 градусов имеет равные диагонали и две равные им стороны (его диаметр тоже им равен, конечно). Впишем в него правильный треугольник с вершиной в угле 150 градусов (остальные вершины лежат на противоположных сторонах, равных по длине диагоналям). Периметр треугольника равен \/3, умноженному на диаметр четырехугольника. «Раздвоив» вершину треугольника, совпадающую с вершиной угла 150 градусов, и сдвинув каждый экземпляр вдоль своей стороны, превратим вписанный треугольник во вписанный четырехугольник. Если эти сдвиги были достаточно малыми, то периметр полученного четырехугольника будет близок к периметру треугольника, т.е. меньше удвоенного диаметра.
287*. Докажите, что среди всех вписанных в этот четырехугольник треугольников, указанный правильный треугольник имеет а) минимальный периметр б) минимальную сумму квадратов сторон в) минимум максимальной стороны.
Указание. Пункты б) и в) следуют из пункта а). Применяя задачу 278, доказать, что если вершин треугольника совпадает с вершинами с углами 60,75,75 градусов, то минимальный периметр, равный удвоенной диагонали, будет у вырожденного треугольника. Если же вершина совпадает с вершиной угла 150 градусов, то минимальный периметр будет у «оптического» треугольника, который окажется вписанным правильным треугольником.
288. Любой вписанный п—угольник с минимальной суммой квадратов сторон (если он существует и не вырождается) удовлетворяет следующему условию. Для любой его малой диагонали, т.е. такой, что по одну сторону от нее лежит только одна его вершина, отрезок, соединяющий эту вершину с серединой диагонали («медиана»), перпендикулярен стороне описанного п—угольника, содержащей эту вершину.
Указание. Применить задачу 112. Если это условие не выполнено, то можно сдвинуть одну вершину так, что сумма квадратов сторон уменьшится.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов