Математика. Сборник задач по углубленному курсу

Математика. Сборник задач по углубленному курсу. Пособие содержит теоретический материал, примеры с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Математика. Сборник задач по углубленному курсу

Математика. Сборник задач по углубленному курсу

4. Неординарные текстовые задачки 53
4.1. Недоопределённые задачки 53
4.2. Неравенства в текстовых задачках 56
4.3. Лучший отбор, величайшие и меньшие смысла 59
5. Внедрение параметров квадратного трёхчлена в задачках с параметрами 63
5.1. Изучение параметров квадратной функции в связи с ролей параметра. Аксиома Виета 63
5.2. Аксиомы о месторасположении имя квадратного трёхчлена в числительный оси 67
5.3. Перемешанные задачки 73
6. Внедрение разных параметров функций и использование графичных картинок 75
6.1. Нива дефиниции функции, размеренность, повторяемость, чётность и нечётность 75
6.2. Очень много ролей функции, проемы знакопостоянства и монотонности 78
6.3. Многофункциональные уравнения и неравенства 83
6.4. Внедрение графичных картинок 89
7. Способ оценок 95
7.1. Оптимальные и иррационалистические уравнения и неравенства 95
7.2. Триангуляционные уравнения и неравенства 98
7.3. Уравнения и неравенства с счетными и примерными функциями 104
8. Задачки в подтверждение 106
8.1. Триангуляционные задачки в подтверждение 106
8.2. Способ точной индукции 109
8.3. Подтверждение неравенств и тождеств 111
9. Внедрение необыкновенностей обстоятельства задачки 114
9.1. Самооптимизация движения вывода, вступление функций, искусственного происхождения вступление характеристик, замена ролей параметра и неустойчивой 114
9.2. Чётность и инвариантность сообразно многым неустойчивым, изучение единственности вывода, нужные и довольные обстоятельства 118
9.3. Уменьшение задачки и переформулирование обстоятельства 123
9.4. Перемешанные задачки 127
Дробь II. Лонгиметрия 131
1. Треугольники 131
1.1. Прямоугольные треугольники 131
1.2. Аксиомы синусов и косинусов 143
1.3. Математичка, отрезок, вышина 153
1.4. Схожесть треугольников 165
1.5. Участок треугольника 177
2. Окружности 188
2.1. Углы в окружностях 188
2.2. Касающийые, хорды, пересекающие 199
3. Четырёхугольники и многоугольники 211
3.1. Ромбоиды 211
3.2. Трапеции 219
3.3. Единые четырёхугольники и многоугольники 231
4. Задачки в подтверждение 245
4.1. Треугольники 245
4.2. Многоугольники 250
4.3. Окружности 253
4.4. Участка 257
5. Задачки в возведение 259
5.1. Алгебраический способ 259
5.2. Способ геометральных участков баста 263
5.3. Способ симметрии и спрямления 270
5.4. Способ синхронного перенесения 274
5.5. Способ схожести 281
5.6. Способ поворота и перемешанные задачки 285
6. Стереометрия 290
6.1. Вступление 290
6.2. Полиэдры 294
6.3. Корпуса верчения 300
6.4. Композиции тел 306
Решения 308
Беллетристика 324
Найти минимум суммы квадратов расстояний от произвольной точки до вершин данного а) треугольника б) четырехугольника в) тетраэдра.
Указание. Центр трех единичных масс расположен в точке пересечения медиан треугольника, центр четырех единичных масс расположен в точке пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. В случае тетраэдра отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, называются и пересекаются в одной точке. Эта точка (центр масс вершин тетраэдра) также совпадает с точкой пересечения пространственных медиан тетраэдра (см. далее задачи 539, 547).
Глава 2. Неравенства для выпуклых фигур и тел
Вписанные многоугольники
Рассмотрим задачу о том, как вписать в данный выпуклый п—угольник другой т—угольник, т < п, у которого сумма сторон минимальна (обобщение задачи Фаньяно), и подобные ей задачи о минимизации суммы квадратов сторон и максимальной стороны выписанных п—угольников (для случая треугольников эти задачи см. в разделе 1.3).
&277. Докажите, что ромб с вершинами в серединах сторон прямоугольника имеет минимальный периметр среди всех вписанных в прямоугольник четырехугольников. Кроме него, существует еще бесконечно много вписанных в квадрат параллелограммов того же минимального периметра. Ромб также имеет минимальную сумму квадратов сторон и минимальную наибольшую сторону среди всех вписанных четырехугольников, причем он является единственным экстремальным четырехугольником.
Указание. См. задачи 280, 290.
 (Биркгоф) Любой вписанный п—угольник с минимальным периметром (если он существует и не вырождается, т.е. все его вершины лежат внутри сторон описанного п—угольника) является «оптическим», т.е. для любой его вершины углы, образованные смежными с ней сторонами вписанного п—угольника со стороной описанного п—угольника, содержащей эту вершину, равны. Значит, вписанный п—угольник можно рассматривать как замкнутую траекторию луча света, отражающегося зеркально от сторон описанного п—угольника (или как замкнутый путь шара в п—угольном биллиарде). То же самое верно и для вписанного ш—угольника при т < п и для вырожденных т—угольников, но только для вершин, лежащих внутри сторон п—угольника.
Указание. Применить задачу 49.
 Если у n-угольника при четном п существует невырожденный вписанный п—угольник с минимальным периметром, то сумма всех его углов при вершинах с четными номерами равна сумме углов при вершинах с нечетными номерами. В этом случае существует бесконечно много минимальных вписанных п—угольников.
Указание. Передвинуть на достаточно малую величину одну из вершин вписанного п—угольника и через нее запустить луч света, параллельно одной из смежных с этой вершиной сторон. После отражения от всех сторон луч вернется в исходную точку и его траектория образует вписанный п—угольник со сторонами, параллельными соответствующим сторонам исходного п—угольника. Если его стороны занумеровать в естественном порядке, то сумма длин сторон с четными номерами увеличится (уменьшится) на ту же величину, на которую уменьшится (увеличится) сумма длин сторон с нечетными номерами.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов