Математика. Пособие для поступающих в вузы

Математика. Пособие окажется полезным студентам педагогических вузов, а также учителям средних школ. Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания.

Математика. Пособие для поступающих в вузы

Математика. Пособие для поступающих в вузы

Решения 428
Глава 10. Непосредственные и плоскости в месте 429
§ 32. Ссылочный который был использован сообразно стереометрии 429
§ 33. Разреза полиэдров 449
Ссылочные материал 449
Образцы с решениями 450
§ 34. Расчет углов в месте 461
1. Приют меж непосредственными 461
Ссылочные материал 461
Образцы с решениями 462
2. Вертикальность непосредственный и плоскости. Нормаль и косая. Приют меж непосредственный и плоскостью 467
а) Вертикальность непосредственный и плоскости 467
Ссылочные материал 467
Образцы с решениями 467
б) Приют меж непосредственный и плоскостью 469
Ссылочные материал 469
Образцы с решениями 470
3. Двугранные углы 473
Ссылочные материал 473
Образцы с решениями 473
§ 35. Расчет расстояний в месте 482
1. Отдаление меж 2-мя баста 482
Ссылочные материал 482
Образцы с решениями 482
2. Отдаление с баста по непосредственный 485
Ссылочные материал 485
Образцы с решениями 486
3. Отдаление с баста по плоскости. Отдаление меж синхронными плоскостями 486
Образцы с решениями 488
4. Отдаление меж скрещивающимися непосредственными 494
Ссылочные материал 494
Образцы с решениями 495
Голова 11. Полиэдры 500
§ 36. Трилинейная фигура 500
1. Размер пирамиды 500
Ссылочные материал 500
Образцы с решениями 500
2. Фигура и нива 508
Ссылочные материал 508
Образцы с решениями 509
3. Различные задачки 515
Образцы с решениями 515
§ 37. Четырехугольная и гексагональная пирамиды 530
Образцы с решениями 530
§ 38. Николь 543
Образцы с решениями 543
Голова 12. Выпуклые корпуса, композиции геометральных тел 559
§ 39. Тело, убор и нива 559
Ссылочные материал 559
1. Тело и нива. Убор и нива 559
Образцы с решениями 559
2. Нива, ровная и сфера 564
Ссылочные материал 564
Образцы с решениями 565
§ 40. Композиции выпуклых тел и полиэдров 568
1. Убор и пирамида. Тело и пирамида 568
Образцы с решениями 568
2. Композиции полиэдров 581
Образцы с решениями 581
Задачки к вершинам 10-12 585
1-ый степень 585
2-ой степень 587
3-ий степень 594
Решения 600
Глава 13. Выводная и термин 603
§41. Выводная и ее использование к изучению функций 603
Ссылочные материал 603
Образцы с решениями 606
Задачки 618
Решения 621
§ 42. Термин и его прибавления 622
Ссылочные материал 622
Образцы с решениями 624
Задачки 630
Решения 632
Глава 14. Задачки с параметрами. Различные задачки 633
§43. Уравнения и порядка уравнений с параметрами 633
Образцы уравнений с параметрами 633
Образцы порядков уравнений с параметрами 650
Задачки 666
Решения 672
§44. Неравенства и порядка неравенств с параметрами 673
Образцы с решениями 673
Задачки 692
Решения 694
§45. Расщепляемость цельных количеств, сопоставления, цельночисленные вывода уравнений 694
Образцы с решениями 694
Задачки 701
Решения 702
§ 46. Составляющие комбинаторики 702
Ссылочные материал 702
Образцы с решениями 703
Задачки 704
Решения 705
§ 47. Различные задачки сообразно алгебре 705
Образцы с решениями 705
Задачки 708
Решения 709
Виды олимпиад и писчих интродукционных экзаменов сообразно арифметике в МФТИ 710
Решения к альтернативам 714
Докажите, что четырехугольное сечение тетраэдра имеет площадь не больше, чем максимальная площадь его граней.
Указание. Рассмотрим проекцию тетраэдра на плоскость, перпендикулярную диагонали сечения. Само сечение при этом проектируется в отрезок, совпадающий с проекцией второй диагонали, а первая диагональ — в точку. Если угол между диагоналями равен ф, то площадь сечения равна половине произведения диагоналей на sin ф, а так как длина проекции второй диагонали равна длине диагонали, умноженной на sin ф, то эта площадь равна половине произведения указанной проекции одной диагонали на другую диагональ. При указанном проектировании тетраэдр превращается в выпуклый четырехугольник, а упомянутая диагональ проектируется на прямую, проходящую через точку пересечения диагоналей этого четырехугольника. Применяя задачу 219 для случая четырехугольника, получаем, что упомянутая проекция сечения имеет длину, не большую одной из диагоналей четырехугольника. В эту диагональ проектируется треугольное сечение тетраэдра, и его площадь будет не меньше площади рассматриваемого четырехугольного сечения (площадь треугольного сечения тоже равна половине произведения длины его проекции, т.е. одной из указанных диагоналей, на длину диагонали
1.9. Неравенства для выпуклых многоугольников четырехугольного сечения, проектирующейся в точку). Остается применить задачу 221.
223. Один выпуклый четырехугольник находится внутри другого. Докажите, что сумма его сторон и диагоналей меньше 4/3 от подобной величины для второго четырехугольника.
Пространственный вариант предыдущей задачи предлагался на Всесоюзной олимпиаде.
224. ( ВМО, 1982) На гранях тетраэдра выбрано по точке, которые тоже образуют вписанный тетраэдр. Докажите, что периметр (сумма длин ребер) вписанного тетраэдра меньше 4/3 периметра большего тетраэдра.
Указание. Передвигая по очереди вершины и используя задачи 217, 215, можно, не уменьшая периметра вписанного тетраэдра, поместить все его вершины сначала на ребра, а потом и в вершины исходного тетраэдра. Остается перебрать все варианты, пользуясь неравенством треугольника. Если три вершины тетраэдра близки друг к другу, а третья далека от них, то указанное неравенство почти достигается. Тот факт, что периметр объемлющего тетраэдра может быть меньше периметра объемлемого довольно удивителен. Решение без явного использования выпуклости см. в [15]. Решение, использующее метод усреднения, см. в [53], задача 11.57.
Неравенства с углами в выпуклых многоугольниках

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов