Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений

Математика. ЕГЭ. Уравнения и системы уравнений. В данном пособии представлен разнообразный материал для подготовки к решению задач типа С1. Сюда входят все основные методы решения уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и старшей школе: целых рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических. Все задачи снабжены подробными решениями и обоснованиями. В пособии даны также задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений

Задача
К читателю 3
Главные обозначения 6
Задача 1. Расщепляемость. Дробление с остатком. Обыкновенные и сложные количества. Заключение уравнений в цельных количествах 7
Задача 2. Десятичная отметка количества и симптомы делимости 15
Задача 3. Квадратная цель. Квадратные уравнения. Аксиома Виета 23
Задача 4. Уравнения и неравенства 33
Задача 5. Порядка уравнений и неравенств 41
Задача 6. Цифирные и геометральные прогрессии . 54
Задача 7. Текстовые задачки: перемещение, служба, доля, цельные количества 63
Задача 8. Закономерные задачки 74
Задача 9. Комбинаторика 84
Задача 10. Числовые балла. Преображение оборотов 92
Задача 11. Неравенства. Максимально и минимальное колличество 100
Задача 12. Участок 107
Задача 13. Окружности 117
Задача 14. Ортогональный фигура. Аксиома Пифагора 127
Задача 15. Медианы, вышины, биссектрисы в треугольниках 136
Задача 16. Четырёхугольники 146
Задача 17. Геометральные задачки в неравенства и минимум 156
Задача 18. Стереометрия 166
Прибавления
Будто попасть в СУНЦ МГУ 177
Програмка сообразно арифметике 178
Виды интродукционных экзаменов из-за крайние возраст 182
Решения к задачкам изо отраслей «Постановите самочки» 211
Решения к альтернативам крайних парение 215

К подросткам, прибывающим в среднее учебное заведение-учреждение фамилии А. Н. Колмогорова (совершенное заглавие — Спец учебно-академический орган Столичного муниципального института фамилии М.В.Ломоносова), предъявляются 2 главных запросы. В-1-ый, нужно обладать познаниями, предустановленными школьной програмкой. В-других, необходимо мочь улаживать неординарные задачки. Тут разрешено брать изобретательностью, настойчивостью либо познанием.
Разинем нашим чтецам основной тайна. Мыслей и трюков, коие употребляются около синтезе новейших тем, окончательное количество (желая достаточно огромное). Из-за момент наличия средние учебные заведения имелось обмануто большущее численность писчих и произносимых интродукционных экзаменов. Безвыездно вероятные мысли этак либо по другому теснее имелись применены, и выдумать будто-ведь сознательно свежее совсем трудно. К примеру, 1 изо наиболее прекрасных геометральных тем в данной книжке (см. № 14.3) разрешено отыскать в «Книжке лемм» Архимеда. Симпатия предполагалась в 1970 годку, и в данный момент теснее навряд единица который-ведь сумеет заявить, имелась единица симпатия выдумана поновой либо ведь одолжена у киноклассика.

Проведем через внутреннюю точку М выпуклого многоугольника прямую, пересекающую его по отрезку АВ. Докажите, что длина этого отрезка максимальна тогда и только тогда, когда А или В совпадает с одной из вершин многоугольника.
Указание. Проведем через М прямые через вершины многоугольника. Пусть углы, образованные этими прямыми с фиксированной прямой, проходящей через М, есть О < «1 < … < ап < 2п. Согласно задаче 217 длина АВ является кусочно вогнутой функцией, строго вогнутой на каждом отрезке [аі,оц+і] (как сумма строго вогнутых функций). Согласно задаче215 максимума она достигает на одном из концов отрезка [щ, аг+і].
Доказанное утверждение справедливо, в частности для четырехугольника и точки пересечения его диагоналей: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, пересекает четырехугольник по отрезку, длина которого не больше длины одной из диагоналей (решение, не использующее выпуклость, см. в решении задачи 15.32 б) из [53]). Также оно справедливо и для невыпуклых, но звездных относительно точки многоугольников.
220. Докажите, что сечение тетраэдра имеет периметр не больше, чем периметр одной из его граней.
Указание. Если сечение треугольное, то можно применить задачи 217, 215 и сдвигая по очереди вершины сечения по ребрам, совместить его с одной из граней. В силу выпуклости и задачи 215 это можно делать так, чтобы периметр не убывал. Если сечение четырехугольное, до действуя аналогичным образом (не смущаясь, что четырехугольное сечение может перестать быть плоским четырехугольником), переместим все его вершины в вершины тетраэдра. Получим либо треугольную грань, либо ребро.
221. Докажите, что треугольное сечение тетраэдра имеет площадь не больше, чем максимальная площадь его граней.
Указание. Передвигая одну из вершин сечения по ребру, грани, заметим, что ее площадь будет строго вогнутой функцией от координаты этой вершины (применим задачу 218, рассматривая высоту треугольного сечения). Применяя задачу 215, можно передвинуть вершину сечения до совмещения с одной из вершин тетраэдра так, чтобы его площадь не уменьшилась. Повторяя эту процедуру, совместим сечение с одной из граней.
<#222. Докажите, что четырехугольное сечение тетраэдра имеет площадь не больше, чем максимальная площадь его граней.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов