Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности

Математика. Задачи повышенной сложности. В книге рассматриваются задачи из различных разделов «школьной» математики (алгебра, тригонометрия и геометрия), допускающие применение нестандартных (необычных) методов решения. Для каждой из задач предлагается подробное решение, а для некоторых задач — несколько решений. Учебное пособие предназначено, прежде всего, старшеклассникам для углубленного изучения математики в средних школах.

Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности

Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности

Глава 1. Использование необычных способов вывода уравнений и неравенств 7
§ 1.1. Расхождение Коши 7
§ 1.2. Расхождение Бернулли 8
§1.3. Расхождение Коши—Буняковского 9
§ 1.4. Двучлен Ньютона 9
§ 1.5. Модули 10
§1.6. Триангуляционные преображения 11
§ 1.7. Логарифмы 12
Глава 2. Задачки, встречающиеся в писчих экзаменах сообразно арифметике 13
§2.1. Расщепляемость количеств 13
§2.2. Расчет средства 15
§2.3. Цифирные прикидки 18
§2.4. Алгебраические и триангуляционные преображения 22
§2.5. Подтверждение неравенств 25
§2.6. Оптимальные уравнения 41
§2.7. Иррационалистические уравнения 56
§2.8. Уравнения с модулями 84
§2.9. Порядка уравнений 88
§2.10. Заключение неравенств 113
§2.11. Примерные и счетные уравнения … 118
§2.12. Примерные и счетные неравенства . . 128
§2.13. Примерные и счетные порядка 133
§2.14. Триангуляционные уравнения и порядка 136
§2.15. Триангуляционные неравенства 154
§2.16. Перемешанные уравнения и неравенства 156
§2.17. Неравенства в геометрии 160
§2.18. Геометральные задачки 170
§2.19. Крайные смысла функций 173
Глава 3. Способ точной индукции 179
Беллетристика 195
Докажите, что все неравенства таблицы 1 улучшить нельзя, точнее часть из них обращается в равенство для правильных п—угольников, часть обращается в равенство для многоугольников, вырождающихся в правильный треугольник, а остальные обращаются в равенство, когда многоугольник вырождается в отрезок.
Хотите узнать, как решается эта задача — читайте дальше.
1.9. Неравенства для выпуклых многоугольников
Изопериметрические неравенства
Теорема 8. Пусть Р полупериметр, s — площадь, г — внутренний, a R внешний радиус выпуклого п-уголъника М. Тогда справедливы неравенства
Каждое из неравенств точное, и достигается только для правильного п-угольника М.
Доказательство этой теоремы легко можно вывести из следующих задач.
Среди вписанных в данную окружность п—угольников максимальный периметр и максимальную площадь имеет правильный.
Приведем прямое решение этой задачи, содержащееся в [59]. Допустим, что п—угольник неправильный. Разрежем его на треугольники с общей вершиной в центре окружности. Среди них есть один с углом при вершине большим 2тг/п, и один — с меньшим 2л/п. Переставим треугольники, составляющие п—угольник, так, чтобы эти два треугольника оказались рядом. Ни периметр, ни площадь п—угольника при этом не изменятся. Передвигая вдоль окружности общую вершину этих треугольников так, чтобы угол большего из этих треугольников оказался равен 2, и применяя задачу 43, получаем, что у п—угольника и площадь и периметр увеличатся. Повторяя, в случае необходимости, проведенное рассуждение, получаем в конце концов правильный п—угольник, у которого и площадь и периметр будут больше, чем у исходного.
Прямое доказательство явно указывает, что неправильный п—угольник имеет меньшую площадь и меньший периметр, чем правильный. Но допустим, что нам известно существование, экстремального п—угольник. Тогда доказать, что он может быть только правильным, можно короче. Для этого не нужно переставлять треугольники, составляющие п—угольник, а достаточно выбрать два соседних из них с разными углами при вершинах, и передвинуть их общую вершину вдоль окружности так, чтобы их «центральные» углы сравнялись. Применяя после этого задачу 42 (а она чуть проще, чем 43) , получаем, что у нового п—угольника площадь и периметр увеличились, что невозможно в силу его экстремальности.
Подобные доказательства называются косвенными. Их недостаток — необходимость предполагать существование экстремальной фигуры. До появления строгой теории пределов и теории действительных чисел существование экстремума у любой разумно поставленной задачи на максимум и минимум считалось очевидным Это и сейчас кажется очевидным тем, кто не знаком с теорией действительных чисел. Для тех же, кто знает эту теорию, этот также не нуждается в доказательстве (потому, что они его легко могут провести сами по известной им схеме). Поэтому мы здесь не будем обсуждать подобные вопросы, а интересующегося ими читателя адресуем, например к [9, 36, 56].
Далее мы рекомендуем читателю свободно пользоваться косвенными рассуждениями (если не удается придумать прямые), но при прочих равных условиях сами будем предпочитать прямые рассуждения (не отвергая при этом красивые косвенные).
Для следующей задачи в [69] приведено прямое рассуждение, которое мы и воспроизводим.

[свернуть]

Похожие страницы

Предложения интернет-магазинов