Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы

Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы. Пособие представляет собой сборник тренировочных тестовых заданий для формирования устойчивых навыков решения задач как базового, так и повышенного уровня сложности. Книга включает задания по следующим разделам школьной программы: числа и вычисления, буквенные выражения, уравнения, неравенства, функции, текстовые задачи, множества, комбинаторика, элементы теории вероятностей и статистики. Пособие состоит из 15 параграфов, содержащих подготовительные задания для отработки каждой темы и тренировочные варианты для самостоятельного выполнения. Завершают книгу итоговые проверочные работы двух видов в зависимости от порядка прохождения отдельных тем программы. Тренажер предназначен прежде всего обучающимся 7—8-х классов для работы в школе и дома.

Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы

Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы

§3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
ПРИМЕР 3 Один мастер делает на длинной ленте пометки синим карандашом через каждые 25 см, а второй — красным через каждые 36 см, начиная с одного и того же места. Или может какая-нибудь синяя пометка оказаться на расстоянии 1 см от какой-нибудь красной?
Развязывание. Пусть х и у — количество отметок, сделанных первым и вторым мастерами согласно. Ответ на вопрос задачи будет утвердительным, если уравнение 25л: — 36у = 1 будет иметь решение в натуральных числах.
Применим алгоритм Евклида к числам 36 и 25:
36 = 25 • 1+11;
25 = 11 • 2 + 3;
Итак, 13 • 25-9 • 36 = 1, то есть пара (13; 9) является решением уравнения 25* — 36у = 1.
Возникает естественный вопрос: «Почему за помощью алгоритма Евклида нам удалось найти целые решения рассматриваемого уравнения?» Дело в том, что справедливо такое утверждение: уравнение ах + by = = НОД (а; Ь) всегда имеет решения в целых числах, причем одно из решений (лг0; у0) можно найти с помощью алгоритма Евклида. Более того, все цели решения этого уравнения задаются формулами х = х0-bty у = у0 + at у де te Z. Этот факт вы сможете доказать на занятиях математического кружка.
Если числа а и b являются делителями числа k, то число k называют общим кратным чисел а и Ь.
Среди общих кратных чисел а и b существует наименьшее. Его называют наименьшим общим кратным чисел а и b и обозначают НСК (а; Ь).
Например, НСК (8; 12) = 24, НСК (7; 8) = 56, НСК (64; 16) = 64.
10. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 69
Теорема 10.2. НСК (а; Ь) является делителем любого общего кратного чисел а и Ь.
Доведение. Пусть НСК (а; Ь) = k и ^ — общее кратное чисел а и 6, kt > k.
Предположим, что kt не делится нацело на k. Тогда k^ = kq + г, где О < г < k. Отсюда г = А?! — /г*?. Каждое из чисел k^ и k кратно и а, и следовательно, г: а и r: b, то есть г — общее кратное чисел а и Ь. Однако r < k.
Определение. Если НОД (a; b) = 1, то числа а и b называют взаимно простыми.
Например, 9 и 25, 16 и 1, 28 и 29 — пары взаимно простых чисел.
ПРИМЕР 4. Докажите, что значение выражения п3 — п делится нацело на 6 при любом значении п.
Развязывание. Имеем: ns — п = (п — 1) п (п + 1). Поскольку из двух последовательных натуральных чисел одно кратно 2, а из трех последовательных натуральных чисел одно кратно 3, то по теореме 10.6 значение данного выражения кратное 2*3, то есть 6.
ПРИМЕР 5 Решите в натуральных числах уравнение
(у-Е) 2 = 8у.
Развязывание. Очевидно, что в Ф 1. Поскольку левая часть уравнения кратна в — 1, то и правая часть уравнения кратна в — 1. Числа в и в — 1 взаимно просты (докажите это самостоятельно). Тогда по теореме 10.7 имеем: что 8 и (у-1)2. Отсюда (у — И)2 = 1 или (у — И)2 = 4.
С учетом N получаем: у = 2 или у = 3. Далее получаем,
что х = 16 или х = 6.
10. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 71
• 1. Какое число называют наибольшим общим делителем чисел а и Ы
2. Чему равен НСД (а; b), Если а: Ь1
3. Опишите алгоритм Евклида.
4. Какое число называют наименьшим общим кратным чисел а и Ь1
5. Чему равна произведение НСК (а; 6) • НОД (а; 6)?
6. Какие числа называют взаимно простыми?
7. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?
10.18.- От прямоугольника размером 324 х 141 мм отрезают квадраты со стороной 141 мм, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше 141 мм. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, сторона которых равна длине его меньшей стороны, и т. д. Какова длина стороны последнего квадрата?
10.19.- Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа а и Ь, что НОД (а; Ь) = 1.
10.20.- Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольший общий делитель. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.
10.21.- Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольший общий делитель. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.
10.22. — развяжите в натуральных числах уравнения х (у + и)2 = 243. 10.23 / натуральные числа то и л такие, что НСК (то; л) + НСД (то;
п) = то + л. Докажите, что одно из чисел (или л) делится нацело на второе.
Признаки делимости
10.25/ Натуральное число п такое, что значение выражения п (п + 1) х (п + 2) (п + 3) (п + 4) кратное 2000. Найдите наименьшее значение п.
 Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдает новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел (m; n), первый автомат выдает карточку с числами (т — п; п)во второй — карточку с числами (т + п; п), третий — карточку с числами (п; т). Сначала есть карточка с парой чисел (46; 51). Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел (15; 33)?
§ I. Вычисления 6
Выполнение арифметических действий 6
Тренировочные варианты 10
§2. Степень числа 11
Степень числа с натуральным показателем 11
Степень числа с целым показателем 13
Тренировочные варианты 14
§3. Одночлены 16
Действия над одночленами 16
Тренировочные варианты 18
§4. Многочлены 19

[свернуть]

Похожие страницы