Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации. 7-8 класс

Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации 7-8 класс. Пособие для подготовки к промежуточной аттестации по алгебре за курс 7-го и 8-го классов в новой ЕГЭ-подобной форме. Тестовые задания этого пособия можно рассматривать как способ подготовки к РИА за курс основной школы. Пособие составлено на основе спецификации, разработанной авторским коллективом в соответствии с программой по алгебре и учебниками авторов Алимова Ш. А. и др., Макарычева Ю. Н. и др., Мордковича А. Г. и др. для 7-8 классов. Оно содержит 60 авторских учебно-тренировочных тестов, по 30 для каждого класса. Варианты носят характер «парного подобия».

Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации. 7-8 класс

Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации. 7-8 класс

Для решения уравнений, содержащих выражение, что случается несколько раз, также используют способ замены переменной, который мы использовали для решения биквадратных уравнений.

Обратите внимание:
для решения уравнений способом замены переменной нужно:
1) при необходимости, определить ОДЗ переменной начального уравнения;
2) для повторяющегося выражения ввести замену и получить вспомогательное уравнение;
3) решить вспомогательное уравнение;
4) вернуться к начальной переменной и найти корни начального уравнения;
5) при необходимости сделать проверку найденных корней на принадлежность их к ОДЗ переменной начального уравнения.
Узнайте больше
Рассмотрим еще два способа решения квадратных уравнений.
1. Квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 можно решить и графически. Суть такого решения заключается в нахождении абсцисс точек пересечения окружности, имеющей центр в точке
QJ—; И и радиус QA, где A(0; 1), и оси ОХ (рис. 47).

Абсциссы точек M и N — корни уравнения.
2. Для решения квадратных уравнений, содержащие «неудобные коэффициенты», используют также метод «переброски». План решения предусматривает такое:
1) умножить обе части уравнения на коэффициент а:
ax2 + bx + c = 0, I • а (ax)2 + b(ax) + ас = 0;
2) ввести новую переменную t = ax и получить вспомогательное уравнение:
t2 + bt + ас = 0;
3) решить вспомогательное уравнение и вернуться к переменной начального уравнения.
Во вспомогательном уравнении свободный член с умножают на коэффициент а, который вроде бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».
Задача 6. Решите уравнение: 12х2 + 5х — 2 = 0.
Решение Умножим обе части уравнения на 12 («перебросим» коэффициент 12 до свободного члена), введем замену t = 12х (t — любое число) и получим вспомогательное уравнение:
t2 + 5t — 24 = 0.

Вспомните главное
1. Объясните, как решают целые рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным.
2. Объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
3. Какие уравнения называются биквадратными?
4. Объясните, как решают биквадратные уравнения.
5. Объясните, как решают уравнения способом замены переменной.
Решите задачи
819′. Каким будет следующий шаг в решении уравнения: x (x + 1) = 10 ?
820′. Каким будет следующий шаг в решении уравнения:
x + 4 = 5 ? x
821′. Каким будет следующий шаг в решении уравнения:
(x — 1)2 + 3 (x — 1)- 4 = 0 ? 822′. Какие из уравнений являются биквадратными уравнениями:
1) х4 — 3х2 — 4 = 0;

Составление ответа к задаче. В задаче необходимо найти длины сторон прямоугольника. За х принято длину одной из сторон прямоугольника. Получили х = 12 или х = 5. Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Если х = 12, то длина этой стороны равна 12 см. Тогда длина другой стороны составляет: 17-x = 17-12 = 5 (см). Если х = 5, то длина этой стороны равна 5 см. Тогда длина другой стороны составляет: 17-x = 17-5 = 12 (см). Получили две пары значений для длин сторон прямоугольника:
12 см и 5 см и 5 см и 12 см. Обе эти пары удовлетворяют условию задачи. К тому же, не важно, какую из сторон прямоугольника считать первой, а какую — второй. Поэтому считаем, что найдены две пары значений совпадают и задача имеет одно решение: длины сторон прямоугольника равны 5 см и 12 см.
Обратите внимание:
— если в задаче необходимо найти пару чисел a и b, то таких пар может быть две: a и b и b и a;
— если по условию задачи не важно, в каком порядке подавать найденные числа, то из двух возможных пар чисел в ответ записывают только одну: или a и b или b и a.
Узнайте больше
в древности, когда геометрия была развита больше, чем алгебра, одним из способов решения квадратных уравнений был геометрический способ. Приведем пример решения квадратного уравнения x2 + 10x = 39, предложенного Аль-Хорезми (787-ок. 850). В оригинале эта задача формулируется так: «Квадрат и десять корней равны 39».
Развязывание. Нарисуем квадрат со стороной х. Площадь такого квадрата равна х2. На сторонах квадрата построим четыре прямоугольника со сторонами х и — = 2 , а в углах — четыре квадрата со стороной 1° = 5 (рис. 50).
Вспомните главное
1. Что такое математическая модель?
2. Что такое математическое моделирование?
3. Назовите этапы математического моделирования.

Моторная лодка проплыл против течения реки 24 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки, если скорость течения равна 1 км/час.
Катер проплыл 18 км по течению реки и 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость течения, если скорость катера равна 20 км/час.
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за 1 ч изготавливает второй рабочий, если первый рабочий за 1 ч изготавливает на 1 деталь больше?
Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 ч дольше, чем второй. Сколько деталей за 1 ч изготавливает первый рабочий, если второй рабочий за 1 ч изготавливает на 1 деталь больше? Петя и Коля мастерят из бумаги кораблики. За 1 час Петя может изготовить 8 корабликов, а Коля — 12. Сколько часов понадобится ребятам, чтобы вместе изготовить 100 корабликов?
Таня с Наташей изготавливают новогодние украшения для школьной елки. За 1 час Таня может изготовить 4 украшения, а Наташа — 5 украшений. Сколько часов понадобится девушкам, чтобы изготовить 45 украшений?
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2.
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 14 см, а площадь данного треугольника — 24 см2.

[свернуть]

Похожие страницы