Рабочая тетрадь по алгебре. 8 класс. К учебнику С.М. Никольского

Рабочая тетрадь по алгебре. 8 класс. Рабочая тетрадь адресована школьникам, которые изучают алгебру по учебнику С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра. 8 класс». Издание содержит практические задания, необходимые для закрепления и развития знаний, умений и навыков, предусмотренных программой 8 класса.

Рабочая тетрадь по алгебре. 8 класс. К учебнику С.М. Никольского

Рабочая тетрадь по алгебре. 8 класс. К учебнику С.М. Никольского

Длина обода заднего колеса трактора равна 2 м, переднего — 1,5 м. Сколько метров должен проехать трактор, чтобы переднее колесо сделало на 10 оборотов больше, чем заднее?
14. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень
Сто семь
419. Температуру можно измерять по шкалам Цельсия и Фаренгейта. Известно, что 0 градусам по Цельсию соответствует 32 градуса по Фаренгейту, а 100 градусам по Цельсию соответствует 212 градусов по Фаренгейту.
а) Какую температуру воздуха показывает термометр со шкалой Фаренгейта, если термометр со шкалой Цельсия показывает 20 градусов?
б) Найдите температуру, которая и по шкале Цельсия и по шкале Фаренгейта выражается тем же числом.
420. Пять футболистов расположены на футбольном поле так, что попарные расстояния между ними различны. Каждый футболист имеет мяч. В определенный момент каждый футболист подходит мяч ближайшему к себе футболисту. Докажите, что после перепасовки: а) найдется футболист, не имеющий мяча; б) найдется футболист, имеющий по крайней мере 2 мяча.
ЕЕ 1,1 квадратный корень.
Арифметический квадратный корень
1. Квадратные корни. Рассмотрим задачу: найти сторону квадрата, площадь которого равна 9 см2.
Пусть сторона квадрата равна х см. Тогда его площадь составит х2 см2, что по условию задачи равна 9 см2. Итак, х = 9.
Решим полученное уравнение графически. Парабола у = х пересекает прямую у = 9 в двух точках с абсциссами 3 и -3 (см. рис. 7). Поэтому корнями уравнения х =9 являются два числа х = 3 и х = -3.
Длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом. Итак, искомая сторона равна 3 см.
Решая задачу, мы нашли рис 7
числа 3 и -3, квадраты которых равны 9. Каждое из этих чисел называют квадратным корнем из числа 9.
Сто восемь
§ 2. Квадратные корни. Действительные числа
Определение
Квадратным корнем из числа а называют такое число, квадрат которого равен а.
Квадратными корнями из числа 9, как мы уже показали, есть два числа: 3 и -3.
Квадратными корнями из числа 6,25 числа 2,5 и -2,5, потому 2,52 = 6,25 и (-2,5)2 = 6,25.
Квадратным корнем из числа 0 является только число 0, потому что только квадрат нуля равен нулю.
Квадратных корней из числа -9 не существует, ибо нет чисел, квадраты которых равнялись бы отрицательному числу.
2. Арифметический квадратный корень. Мы установили, что числа 3 и -3 являются квадратными корнями из числа 9. Неотъемлемый из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим квадратным корнем из числа 9.
Определение
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа. Выражение 4а читают: квадратный корень из а (правильно было бы: арифметический квадратный корень из а, но во время чтения слово «арифметический» опускают).
Итак, 49 = 3 (читают: квадратный корень из девяти равен три). По обозначению арифметического квадратного корня: л / и21 = 11, ибо число 11 неотрицательное (11 > 0) и 112 = 121; 70,36 = 0,6, бу 0,6 > 0 и 0,62 = 0,36;
То = 0, потому что 0 > 0 и 02 = 0.
В общем случае равенство
-[а = b
является правильной, если выполняются два условия:
1) b > 0; 2) b2 = а.
14. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень 109
Корней из -1 не существует, поэтому не существует и арифметического квадратного корня из этого числа. Говорят, что выражение не имеет смысла. Вообще, выражение 4а имеет смысл, если а > 0.
3. Тождество ((а) = а, а > 0. Это тождество вытекает из обозначения
арифметического квадратного корня. Действительно, поскольку 4а — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а, то:
(4а )2 = а (а > 0).
Например, ((4) = 4, ((5) = 1,5.
4. Извлечения квадратного корня. Нахождение значения арифметического квадратного корня иногда называют извлечением квадратного корня. Извлекать квадратные корни из натуральных чисел, являющихся точными квадратами, можно по таблице квадратов (см. форзац). Пусть нужно найти л / 5476 . По таблице квадратов находим, что число 5476 является квадратом числа 74, поэтому V5476 = 74. Понятно, что по таблице квадратов нельзя найти значение квадратного корня из натурального числа, которое не является точным квадратом или квадрат которого не помещен в таблицу.
Для извлечения квадратного корня из числа можно использовать калькулятор. Для этого нужно ввести число в калькулятор, а затем нажать клавишу

452. Найдите наименьшее значение выражения: а) х2 + 2; б) х2 — 1;
453. Два поезда вышли одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу и встретились в пункте C, который расположен на 20 км ближе к A, чем к B. Скорость поезда, вышедшего из A, на 10 км/ч меньше скорости поезда, вышедшего из B. Найдите скорость каждого поезда, если расстояние между пунктами A и B равно 340 км.
454*. Пшеницей засеяли 65% первого поля и 45% второго поля. Известно, что на первом и втором полях вместе засеяли 53% общей площади обоих полей. Какую часть общей площади обоих полей составляет площадь первого поля?
455. На крайний ячейке полоски размера 1 х 100 стоит фишка. Тарас, а за ним Олег по очереди передвигают фишку на одну или три ячейки в направлении другого края полоски. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто из ребят может обеспечить себе победу независимо от ходов соперника)?
Сто четырнадцать
§ 2. Квадратные корни. Действительные числа
Решим графически уравнение х = а. Для этого в одной системе координат построим графики функций у = х2 и прямые у = а. На рисунке 8 изображена парабола у = х2 и прямые у = а для трех случаев: а > 0, а = 0 и а < 0.
Если а > 0, то прямая у = а пересекает параболу в двух точках с абсцисами -л[а и л[а . Поэтому в данном случае корнями уравнения х2 = а есть числа: x = —л/а и x = sfa.
Если а = 0, то получим прямую у = 0, которая имеет с параболой одну общую точку (0; 0). Итак, уравнение х2 = 0 имеет единый корень х = 0.
Если а < 0, то прямая у = а не пересекает параболу. В данном случае уравнения х = а корней не имеет.

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой N; а все целые числа — множество целых чисел, которое обозначают буквой Z.
Термин «множественное число» используют, когда речь идет о наборе, совокупности любых объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество учеников школы, множество деревьев в парке, множество букв алфавита, множество планет Солнечной системы и т. д. Понятие «множество» относится к числу основных понятий математики, таких как «число», «точка», «прямая», поэтому его не обозначают.
118 § 2. Квадратные корни. Действительные числа
Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Так, число 5 — элемент множества натуральных чисел. Для обозначения множеств используют большие буквы латинского алфавита (A, B, C,…, Z), а для обозначения элементов множества — малые буквы (а, b, c, …, z).
Если элемент а является элементом множества М, то записывают: a есть M (читают: а принадлежит М). Запись b и M означает, что элемент b не принадлежит множеству М. Например:
пусть Р — множество простых чисел; тогда 7 Г, 8 Г; пусть G — множество букв украинского алфавита, которые обозначают гласные звуки; тогда е есть G, с и G.
Тот факт, что число 3 является целым, а число 0,5 — нет, можно записать так: 3 есть Z, 0,5 и Z.
Записывая множество, которое состоит из конечном числе элементов, эти элементы берут в фигурные скобки. Например, М = {1; 3; 5} — множество, которое состоит из трех элементов — чисел 1, 3 и 5. Тогда 1 М, 2 М.
Каждое натуральное число является целым. Поэтому множество натуральных чисел является частью (подмножеством) множества целых чисел.
Вообще, если любой элемент множества А является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В, и записывают А с В (читают: А является подмножеством В).
Например, если А = {-1; 1}, B = {-1; 0; 1; 2}, то А с В, потому что оба элемента -1 и 1 множества А являются элементами множества В. На рисунке 9 изображен схематически, что N с Z.

[свернуть]

Похожие страницы