Алгебра. 8 класс. Учебник. Часть 2. Петерсон Л.Г. и др.

Алгебра. 8 класс. Учебник. В решении любой математической задачи присутствует частица открытия. Новая нестандартная задача заставляет перепробовать множество самых разных способов, а часто и придумывать новые. Задача, открывающая свою тайну только после многократных попыток ее решения, запоминается надолго, а сам процесс решения приносит огромное удовольствие. А значит, чем больше задач будет решено самостоятельно, тем больше занятия математикой будут приносить удовольствие.
Важную роль при построении математических рассуждений играет умение задавать «правильные» вопросы, то есть те вопросы, ответы на которые помогают продвигаться в поисках решения задачи.

Алгебра. 8 класс. Учебник. Часть 2. Петерсон Л.Г. и др.

Алгебра. 8 класс. Учебник. Часть 2. Петерсон Л.Г. и др.

Теория множеств оказала большое влияние на дальнейшее развитие всей математической науки. На ее основе было дано строгое определение действительного числа, обоснованы основные положения теории функций действительной переменной.
В любой математической дисциплине объекты, которые она изучает, образуют определенные множества. Поэтому много авторитетных математиков усматривали в теории множеств ту основу, на которой можно было бы изложить с единых позиций содержание якобы далеких друг от друга разделов математики.
Вопросы и упражнения для повторения § 2
1. Какие свойства имеет функция у = х2?
2. Как называют график функции у = х2?
3. Что называют квадратным корнем из числа а?
4. Что называют арифметическим квадратным корнем из числа а? Для каких значений а имеет смысл выражение ? Каких значений может приобретать выражение?
5. Для каких значений а уравнение х2 = а имеет корни? Сколько корней имеет это уравнение, если а > 0; а = 0; а < 0?
6. Приведите пример множества и некоторой ее подмножества.
7. В виде каких дробей можно представить рациональные числа?
8. В виде каких дробей можно подать иррациональные числа?
9. Какие числа образуют множество действительных чисел?
10. Чему равен квадратный корень из произведения неотрицательных множителей? Докажите соответствующую теорему.
11. Чему равен квадратный корень из дроби b ; где а > 0, b > 0?
Докажите соответствующую теорему.
12. Чему равен квадратный корень из степени а2″, где а > 0? Докажите соответствующую теорему.
13. Почему равен V02 ?
14. На примере выражения покажите, как внести множитель под знак корня.
15. На примере выражения  покажите, как вынести множитель из-под знака корня.

Неполные квадратные уравнения
1. Квадратные уравнения. В 7 классе мы рассматривали линейные уравнения с одной переменной, т. е. уравнение вида ax = b, где х — переменная, a и b — некоторые числа (коэффициенты уравнения). Уравнение ax = b содержит переменную х только в первой степени, и если а ф 0, то уравнение называют еще уравнением первой степени с одной переменной.
Рассмотрим задачу, которая приводит к уравнению, содержащему переменную во второй степени (в квадрате).
Задача. Площадь участка прямоугольной формы равна 600 м2. Длина участка на 10 м больше ширины. Найти ширину участка.
Пусть ширина участка равна х м. Тогда длина участка равна (х + 10) м, а площадь — х(х + 10) м2. По условию задачи эта площадь равна 600 м2, поэтому имеем уравнение х(х + 10) = 600, откуда
х2 + 10х — 600 = 0.
Полученное уравнение называют квадратным.
Квадратным уравнением называют уравнение вида
ax + bx + с = 0, где х — переменная, а, b и c — некоторые числа, к тому же а ф 0.
Числа а, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения:
а — первый коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член.
Например, 7х2 — 3х + 5 = 0 — квадратное уравнение, в котором первый коэффициент а = 7, второй коэффициент b = -3, свободный член с = 5.
Если в квадратном уравнении первый коэффициент равен 1, то такое уравнение называют сводным квадратным уравнением. Так, х2 + 10х — 600 = 0 — сведено квадратное уравнение.
Любое квадратное уравнение, которое не является сводным, можно преобразовать в равносильное ему сведено квадратное уравнение. Например, квадратное уравнение 7х2 — 3х + 5 = 0 не является сводным. Поделив обе его части на первый коэффициент, получим сведено квадратное уравнение x2 -3x + 7 = 0.
20. Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения
2. Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении aX + bx + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

719. Для каких значений х значение разности многочленов 3х2 + 24х + 48 и 10х + 30 равен 2?
720. Для каких значений х значение суммы многочленов 3х2 — 6х и 5х2 — х + 2 равен 3?
721. Найдите значение b, для которых один из корней уравнения равен -3:
а) 20х + Ьх — b2 = 0;
722. Для каких значений а уравнение имеет один корень?
а) х2 — 16х + 4а = 0; б) ах2 + (а + 1)х + 1 = 0.
723. Решите уравнение:
а | / х2-4х + 3 / = 8; б | / х2-3х-4І = 6.
724. Решите уравнение с параметром b:
а) х2 — 4Ьх + 3b2 = 0; б) х2 + 2х — b2 + 2b = 0.
21. Формула корней квадратного уравнения
725. Найдите два значения т, для которых уравнение х2 + их + 3т — 7 = 0: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней.
726. Докажите, что для любого значения b:
а) уравнение х2 + bx — 3 = 0 имеет два корня;
б) уравнение х2 — bx + b2 + 1 = 0 не имеет корней.
727. Подберите два числа, сумма которых равна 8, а произведение — 12. Проверьте, являются ли эти числа корнями уравнения х2 — 8х + 12 = 0.
§ 1. Понятие о неких нелинейных действиях 3
3.1.1. Чинные функции их графики 3
3.1.2. Оборотная соразмерность и ее диаграмма 16
3.1.3. Кусочно-данные функции 28
§ 2. Квадратный начало 37
3.2.1. Цифирный квадратный начало и его характеристики 37
3.2.2. Преображение оборотов с корнями 45
3.2.3. Диаграмма функции z/ = vx 52
3.2.4. ^Эвристическое расчет квадратного корня 57
Стрела — анализ №4 62
Задачки про самоконтроля к Голове 3 64
Голова 4. Квадратная цель 68
§ 1. Квадратные уравнения 68
4.1.1. Квадратные уравнения в настоящих действиях. Неполноценные квадратные уравнения и их заключение 68
4.1.2. Состава имя квадратного уравнения 75
4.1.3. Заключение уравнений, сводящихся к квадратным 82
4.1.4. Аксиома Виета и оборотная к ней аксиома 88
4.1.5. Квадратный детородный орган и его деление в множители 95
4.1.6. Квадратные уравнения с параметром 100
4.1.7. Задачки, сводящиеся к выводу квадратных уравнений 106
Стрела — анализ №5 112
§ 2. Квадратная цель 114
4.2.1. Функции у = ах2; у = ах2 + h;y = а (х- d)2 их графики 114
4.2.2. Квадратная цель у = ах2 + Ьх + с 120
4.2.3.* Величайшее и меньшее смысл квадратного трехчлена 127
§ 3. Квадратные неравенства 133
4.3.1. Заключение квадратных неравенств 133
4.3.2.* Заключение квадратных неравенств с параметром 141
Стрела — анализ №6 148
Задачки про самоконтроля к Голове 4 150
Решения 153
Настоящий книга 159

[свернуть]

Похожие страницы