Алгебра: дидактические материалы для 8 класса

Алгебра 8 класс. Дидактические материалы по курсу алгебры содержат 28 самостоятельных и 7 контрольных работ в четырех вариантах. Ко всем вариантам контрольных работ имеются ответы.
Содержание дидактических материалов полностью соответствует учебнику алгебры для 8 класса серии «МГУ — школе» (авторы СМ. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин). Дидактические материалы можно использовать как в общеобразовательных классах, так и в классах с углубленным изучением математики при работе по любым учебникам, а также для восполнения пробелов и самообразования. Предложенные работы можно использовать как обучающие самостоятельные работы для классной или домашней работы.

Алгебра: дидактические материалы для 8 класса

Алгебра: дидактические материалы для 8 класса

Для каких значений а уравнение (а — 3а)х = 2а — 6 не имеет корней? имеет один корень?
194. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 360 км, вышел товарный поезд и двигался со скоростью 50 км/час. Через 40 мин навстречу ему из пункта B вышел пассажирский поезд и двигался со скоростью 90 км/час. На каком расстоянии от пункта A поезда встретились?
195*. По круговой дорожке велотрека едут два велосипедиста с постоянными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются через каждые 10 с; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 100 сек. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина дорожки равна 200 г?
196. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 25. Разрешается стереть любые два числа и написать их произведение. Повторив такую операцию 24 раза, получим одно число. Докажите, что это число делится на 1 000 000.

В 7 классе мы рассматривали преобразование уравнений, выполняя которые, получают уравнение с теми же корнями. Следовательно, эти преобразования переводят уравнение в равносильное ему уравнение. С ними связаны следующие основные свойства уравнений:
Свойство 1. Если в некоторой части уравнения выполнить тождественное преобразование, которое не меняет допустимые значения переменной, то получим уравнение, равносильное данному.
Свойство 2. Если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Свойство 3. Если обе части уравнения умножить или разделить то же, отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
8. Рациональные уравнения
Пятьдесят семь
4. Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной. Рассмотрим пример.

§ 1. Рациональные выражения
Чтобы решить дробное рациональное уравнение, можно:
1) умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и заменить его целым рациональным уравнением;
2) решить полученное целое рациональное уравнение;
3) исключить из его корней те, для которых общий знаменатель дробей равен нулю.

Упражнение 3. Из города A в город B, расстояние между которыми равно 21 км, выехал велосипедист, а через 20 мин вслед за ним — мотоциклист, скорость которого в три раза больше скорости велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что мотоциклист приехал в город в на 40 мин раньше, чем велосипедист.

207. Какое число нужно прибавить к знаменателю дроби —, чтобы получить дробь, равный и ?
208. Какое число нужно отнять от знаменателя дроби , чтобы получить дробь, равный 4 ?
209. Какое то именно число нужно добавить в числитель дроби 2 и умножить на него знаменатель этой дроби, чтобы получить дробь, который
равен 2 ? равна в ?
210. На какое то именно число нужно умножить числитель дроби 1 и добавить его к знаменателю этой дроби, чтобы получить дробь, равный 2 ?
x(2x — 3)

215. Расстояние между городами A и B равно 720 км. Из города A в город B выехал автомобиль и одновременно с ним вылетел самолет. Автомобиль прибыл в город B на 10 часов позже, чем самолет. Найдите скорости самолета и автомобиля, если скорость самолета в 6 раз больше, чем скорость автомобиля.
216. К бассейну подведены две трубы. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой вдвое быстрее, чем через вторую. Если открыть обе трубы одновременно, то бассейн можно наполнить за 4 часа. За какое время можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?
217. Отец и сын вскопали грядку за 15 мин. За какое время может вскопать грядку отец, работая один, если он может это сделать вдвое быстрее, чем сын?
218. Моторная лодка проплыл 18 км по течению реки и вернулся обратно. На весь путь он затратил 1 ч 45 мин. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/час.
219. Теплоход прошел 12 км по течению реки и 10 км против течения за 1 час. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

§ 1. Рациональные выражения
Степень с целым показателем
1. Степень с натуральным показателем. Степени с натуральным показателем мы изучали в 7 классе. Напомним, что степенью числа a с натуральным показателем п, где п > 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а. Например,
43 = 4 • 4 • 4 = 64.
В выражении 43 число 4 называют основой степени, число 3-показателем степени — а все выражение-степенью. Степенью числа а с показателем 1 называют само число а: а1 = а.
Степени с натуральными показателями часто используют для записи больших чисел и больших значений величин в компактном виде. Например,
13 841 287 201 = 712; 10 000 000 т = 107 т.
Если значение величины мала, то ее задают с помощью степеней, показатели которых не являются натуральными числами. Например, из справочной литературы можно узнать, что масса молекулы воды равна 2,99 • 10-23 г. Чтобы понять подобные задания величин, расширим действие возведение в степень. Рассмотрим, что означает возвышение к степени с нулевым и целым отрицательным показателем.
2. Степень с нулевым и целым отрицательным показателем. Рассмотрим степень a с натуральным показателем. Если A ф 0, то эту степень можно подать как долю a + 1:A. Итак,
a = ak + 1 : a, где а ф 0, k — натуральное число. (1)
Если равенство (1) распространить для случая k = 0, то получим:
Именно число 1 считают нулевой степенью любого числа а, где а ф 0.
Степень числа a с нулевым показателем, где a ф 0, равна 1.

§ 1. Рациональные выражения
264. 25 карточек Виктор пронумеровал числами 1, 2, …, 25, перетасовал карты, разложил чистой стороной вверх и снова пронумеровал числами 1, 2, …, 25. Затем для каждой карты добавил числа, которые на ней написаны, и перемножив 25 полученных сумм. Докажите, что найденный им произведение является четным числом.
И Свойства степени с целым показателем
Степени с целым показателем имеют все свойства, установленные для степеней с натуральным показателем, а именно:
для любого числа а Ф 0 и любых целых чисел m и n сбываются равенства:
для любых чисел а Ф 0 и b Ф 0 и любого целого числа n сбываются равенства:
Для доказательства этих свойств используют определение степени с целым показателем и свойства степени с натуральным показателем.

292. Два станка-автомата за 1 час совместной работы изготавливают 250 деталей. Первый станок за 4 ч и второй за 2 ч вместе изготавливают 740 деталей. Сколько деталей изготавливает за час каждый станок?
293. Из пункта A до пункта B туристы шли со скоростью 6 км/ч, а назад возвращались со скоростью 5 км/час. Найдите расстояние между пунктами, если на обратный путь туристы затратили времени на 1 ч больше, чем на путь от A до B.
294. На берегу реки лежит куча гравия, в которой есть 1001 камень. Из кучи выбрасывают в реку один камень, а потом кучу делят на две. Далее из какой-нибудь кучи выбрасывают в реку один камень, а затем одну из куч делят на две и т. д. Можно ли добиться того, чтобы на берегу остались лишь груды из трех камней?

323. В первом зернохранилище было втрое больше зерна, чем во втором. После того как с первого зернохранилища вывезли 120 т зерна, а во второй привезли 140 т, в первом зернохранилище зерна стало на 130 т больше, чем во втором. Сколько тонн зерна было в каждом зернохранилище сначала?
324. В корзине имеется n яблок. Оля, а за ней Ира по очереди берут из корзины от 1 до 10 яблок. Побеждает тот, кто возьмет последнее яблоко. Для каких значений n обеспечить себе победу может Оля?
В 7 классе мы рассматривали прямую пропорциональность — функция y = kx, где к ф 0. Эта функция является частным, но важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Например, если тело движется со скоростью 10 м/с, то путь S, м, пройденный им за время t с, можно вычислить по формуле S = 10t. Обратим внимание, что зависимость пути S от времени t является прямой пропорциональностью, потому что если увеличим (уменьшим) время t в несколько раз, то во столько же раз увеличится (уменьшится) путь S.
Существуют зависимости между величинами, которые имеют другой, но похожий характер. Рассмотрим примеры.

[свернуть]

Похожие страницы