Алгебра. 8 класс. Самостоятельные и контрольные работы

Алгебра. 8 класс. Самостоятельные и контрольные работы. Это пособие вместе с учебником для углублённого изучения математики «Алгебра. 8 класс» авторов А.Г. Мерзляка, В.М. Полякова входят в один учебно-методический комплект.
Первая часть пособия — «Самостоятельные работы» — разделена на четыре однотипных варианта по 41 работе в каждом (самостоятельные работы, имеющие одинаковые номера, являются однотипными). Каждая самостоятельная работа соответствует определённому параграфу учебника, что отражено в названии этой работы. Наличие аналогичных задач в самостоятельных работах с одинаковыми номерами также позволяет использовать этот материал для отработки навыков решения основных типов задач.

Алгебра. 8 класс. Самостоятельные и контрольные работы

Алгебра. 8 класс. Самостоятельные и контрольные работы

В декабре было 10 ясных и тихих дней, 15 дней был ветер и 12 дней шел снег. В течение скольких дней в декабре была метель (снег и ветер)?
6. Конечные множества. Взаимно однозначное соответствие
Сорок четыре
Развязывание. Обозначим множества чисел, о которых идет речь в условии, буквами А и Б соответственно.
Заметим, что когда в записи шестизначного числа есть цифра 0, то сумма его цифр не больше 9*5 = 45. Следовательно, если а есть А, то в записи числа нет цифры 0.
Каждому числу а является А поставим в соответствие число b есть В по следующему правилу: уменьшим на 1 две последние цифры числа а (это можно сделать, поскольку в десятичной записи числа а нет нулей). Понятно, что за такого соответствия различным числам множества А соответствуют разные числа множества В, то есть каждому элементу множества А будет соответствовать единственный элемент множества В.
Теперь рассмотрим число 999 990, которое принадлежит множеству В. Понятно, что это число не может быть получено из элемента множества А с помощью указанного правила.
Таким чипом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством А и собственным подмножеством множества В. Следовательно, п (Б) > п (А).
3. В каких случаях говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие?
 УПРАЖНЕНИЯ
6.1. В классе 32 ученика. Из них 20 изучают английский язык и 18 — французский. Сколько учеников изучают и английский, и французский языки?
6.2.  известно, что 26 жителей дома держат котов и собак, 16 из них имеют котов, а 15-собак. Сколько жителей имеют и собаку, и кота?
6.3. Из опроса, проведенного в классе, выяснилось, что из 30 учеников класса 18 имеют брата, 14 — сестру, а у 10 есть сестра и брат. Есть ли в этом классе ученики, у которых нет ни сестры, ни брата?
6.4. В декабре было 10 ясных и тихих дней, 15 дней был ветер и 12 дней шел снег. В течение скольких дней в декабре была метель (снег и ветер)?
6. Конечные множества. Взаимно однозначное соответствие
6.14. Множество А содержит 101 элемент. Докажите, что количество ее множителей, которые содержат четное количество элементов, равно количеству множителей, которые содержат нечетное количество элементов.
6.15. В олимпиаде приняли участие 46 учащихся. им было предложено решить 3 задачи. После подведения итогов выяснилось, что каждый из участников решил по крайней мере одну задачу, причем первую и вторую задачи решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.
В 6.16.- Каких трехзначных чисел больше: тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше за первую и третью, или тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей?
Ш 6.17.» Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех цифр. Докажите, что:
1) количество всех «счастливых» билетов парная;
2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999.
В 6.18. Рассматривают треугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких треугольников больше: тех, периметр которых равен 997, или тех, периметр которых равен 1000?
6.19/ На круге отмечены 100 точек: А2, …, А100. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, у которых точка A является вершиной, или тех, у которых точка Аг не является вершиной?
6.20 / каких из пятизначных чисел больше: тех, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей (считая слева направо), или тех, у которых каждая следующая цифра не меньше предыдущей и каждая цифра не больше 5?
6.21.* Докажите, что количество пар целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = п (пе N), равно количеству пар целых
чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = 2п.
6.22/ Множество А содержит 100 элементов. Докажите, что количество ее подмножеств, которые содержат четное количество элементов, равно количеству множителей, которые содержат нечетное количество элементов.
§2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Бесконечные множества. Счеты множественного числа
В предыдущем пункте мы рассматривали конечные множества, между которыми установлено однозначное соответствие, и выяснили, что такие множества имеют одинаковое количество элементов.
Руководствуясь принципом «часть меньше целого», приходим к выводу, что когда В — собственное подмножество конечной множества А, то п {В) < п (А). Следовательно, между конечной множеством и его собственным подмножеством невозможно установить взаимно однозначное соответствие.
Поскольку NcZ, то, казалось бы, естественно считать, что целых чисел больше, чем натуральных. Однако это не так.
Бесконечные множества в этом смысле ведут себя необычно.
Рассмотрим множество N и во множество М четных чисел. Множественное число М является собственным во множественном числе N. Каждому элементу п N поставим в соответствие единственный элемент 2п является М:
При этом каждое четное число будет соответствовать одному натуральному числу. Тем самым между множествами N и М установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому нельзя считать, что в множестве N содержится больше элементов.
Этот пример показывает, что привычные для нас представления о конечные множества нельзя переносить на бесконечные множества.
Вообще, математиками было доказано, что в любом бесконечном множестве А можно выделить собственный множитель Аг таким чипом, что между множествами А и А., можно установить взаимно однозначное соответствие. Это принципиальное отличие бесконечных множеств от конечных.
Если множества А и Б являются конечными и между ними установлено взаимно однозначное соответствие, то п (а) = п (б). Однозначное соответствие установлено между бесконечными множествами А и Б, то в математике не принято говорить, что эти множества имеют одинаковое количество элементов, а говорят, что множества А и в имеют одинаковую мощность.

[свернуть]

Похожие страницы