Алгебра. 8 класс. Рабочая программа к Мордковичу А.Г.

Алгебра. 8 класс. Пособие содержит рабочую программу по алгебре для 8 класса к УМК А.Г. Мордковича и др. В программу входит пояснительная записка, требования к знаниям и умениям учащихся, учебно-тематический план, включающий информацию об эффективных педагогических технологиях проведения разнообразных уроков: «открытия» нового знания, общеметодической направленности, рефлексии, развивающего контроля. А также сведения о видах индивидуальной и коллективной деятельности, ориентированной на формирование универсальных учебных действий у школьников.

Алгебра. 8 класс. Рабочая программа к Мордковичу А.Г.

Алгебра. 8 класс. Рабочая программа к Мордковичу А.Г.

Докажите, что п + 1 натуральных чисел всегда можно выбрать два таких, что их разность делится нацело на п.
Развязывание. При делении целых чисел па п можно получить п различных остатков: 0, 1, …, п — 1. Поскольку заданных чисел п + 1, то как минимум два из них дают одинаковые остатка при делении на п. Тогда
их разность будет делиться нацело па п. А ?-
1. Сформулируйте теорему о деление с остатком.
2. Какое свойство имеет разность чисел а и b, которые при делении на натуральное число т дают одинаковые остатка?
3. Которую имеют свойство остатка при делении целых чисел а и b на натуральное число т, если (a-b)\ml
4. Какие числа называют конгруэнтными по модулю т, где Т является N?
5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что целые числа а и b конгруэнтные по модулю т, где т является N.
6. Сформулируйте свойства конгруенции.
9. Деление с остатком. Конгруэнции и их свойства
Шестьдесят три
J УПРАЖНЕНИЯ
9.1.° Найдите неполную долю и остаток при делении числа1 а на число Ь, если:
1) а = 253, Ь = 19; 3) а = -26, Ь = 3;
2) а = 8, b = 13; 4) а = -1, 6 = 7.
9.2.° Найдите неполную долю и остаток при делении числа т на число у если:
1) т = 9, п = 15;
9.3. Которые остатка можно получить при делении целого числа на 7?
9.4. Задайте все множества, каждая из которых состоит из всех целых чисел, которые имеют одинаковые остатка при делении на 4.
9.5. Даны множества А, Б, X, которые попарно не пересекаются, причем A[}B[}X = Z. Найдите множество X, если А = {3/г|kєZ},
9.6. Какой остаток при делении на 3 дает число вида 3/г — 2, где k є Z?
9.7. Какой остаток при делении на 6 дает число вида 6п — 1, где п gZ?
9.8. Известно, что при делении числа т на 18 остаток равен 11. Найдите остаток при делении числа т: 1) на 2; 2) 3; 3) 6; 4) на 9.
9.9. Известно, что при делении числа п на 16 остаток равен 9. Найдите остаток при делении числа п: 1) на 2; 2) 4; 3) па 8.
9.10. Число т кратно 6. Чему может быть равен остаток при делении числа т на 18?
9.11. Число п кратное 4. Чему может быть равен остаток при делении числа п на 16?
9.12. Число а при делении на 6 дает в остатка 3, а при делении на 4 дает в остатка 1. Найдите остаток при делении числа а на 12.
9.13. Число b при делении на 5 дает в остатка 2, а при делении на дает в остатка 1. Найдите остаток при делении числа b на 15.
9.14. Число т дает равные остатка при делении на 3 и на 4. Чему может быть равен остаток при делении числа т па 12?
9.15. вместо звездочки запишите такое наименьшее неотъемлемое число, чтобы полученная конгруенция была правильной:
1) 56 = * (mod 8); 4) * = 3 (mod 15);
2) 23 = * (mod 7); 5) * = -2 (mod 18);
3) -43 = * (mod 5); 6) * = 6 (mod 2).
Здесь и далее буквами обозначены целые числа.
Шестьдесят четыре
§3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
9.16.° вместо звездочки запишите такое наименьшее неотъемлемое число, чтобы полученная конгруенция была правильной:
1) 84 = * (mod 9); 3) * = -3 (mod 11).
2) -26 = * (mod 6);
9.17.° Известно, что а = -11 (mod 8), b = -2 (mod 8). Найдите остаток при делении па 8 числа: 1) а + b; 2) а — b;
9.18.° Известно, что а = -4 (mod 6), b = -9 (mod 6). Найдите остаток при делении на 6 числа: 1) + b
9.19/ существует Ли целое число, которое при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 9 — остаток 5?
9.20/ Докажите, что остаток при делении па 3 квадрата целого числа может равняться только 0 или 1.
9.21/ Докажите, что остаток при делении па 4 квадрата целого числа может равняться только 0 или 1.
9.22/ Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатка 1.
9.23/ Чему может быть равен остаток при делении числа ms на 7?
9.24/ Чему может быть равен остаток при делении числа k3 на 9? 9.25/ Числа а и b такие, что а2 + Ь2 = 0 (mod 3). Докажите, что
а = 0 (mod 3) и b = 0 (mod 3). 9.26/ Числа т in такие, что т2 + п2 = 0 (mod 7). Докажите, что
т = 0 (mod 7) и п = 0 (mod 7). 9.27/ Известно, что (а2 + Ь2):3. Докажите, что (а2 + Ь2)’:9. 9.28/ Известно, что (т2 + п2):7. Докажите, что (т2+я2):49.
9.29 / развяжите в целых числах уравнения:
1) *2 — 3у = 8; 3) 7п3 — 7п2 = 19;
2) х2 — 4у3 = 11; 4) 23 -9t = 16. 9.30/ Решите в целых числах уравнение:
1) х2 — 3у2 =17; 3) 8*3 + 7z/3 = 38;
2) 9*2 — 28у = 15; 4) 16** — 5г/3 = 18.
9.31/ Используя конгруэнции, докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения:
1) 11″+14 • 6П кратное 5; 5) 52и + 1 + 2п + и + 2й+ 1 кратное 23;
2) З2’1+11 • 5й кратное 4; 6) С3’1*2+5 • 23й+1 кратное 19;
3) 21″ + 22л + 4 кратное 17; 7) 5″ + 8″ — 2″ + 1 кратное 3;
4) 4 • 13й +37″ +1 кратное 6; 8) 2П+5 • 34л +53й+1 кратное 37.
9. Деление с остатком. Конгруэнции и их свойства
Шестьдесят пять
9.32.* Используя конгруэнции, докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения:
1) 17″ +25 • 4п кратное 13; 4) 62л + 3Л + 2 + 3я кратное 11;
9.33/ Найдите остаток при делении числа а па число если:
1) а = 5м, b = 3; 3) а = З101, Ь= 7;
2) а = 73G, Ь = 4; 4) а = С 70 + 252, Ь = 5. 9.34/ Найдите остаток при делении числа то на число п, если:
9.35/ Сумма остатком при делении натурального числа n на числа 3, 6 и 9 равно 15. Найдите эти остатка.
9.36. Докажите, что среди чисел вида 4″ + 4т (то и п — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.
9.37.- Докажите, что среди чисел вида 5Л + 5™ (то и п — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

[свернуть]

Похожие страницы