Я сдам ОГЭ! Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы. Ященко И.В., Шестаков С.А.

Настоящее издание является частью комплекта «Математика. Я сдам ОГЭ!», предназначенного для эффективной подготовки учащихся 7—9 классов к Основному государственному экзамену по математике. Пособие предназначено для использования в учебном процессе в качестве дополнения к основному учебно-методическому комплекту по предмету и может стать основой для внеурочных самостоятельных и факультативных занятий по подготовке к ОГЭ или систематического курса итогового повторения и ликвидации пробелов в знаниях учащихся основной школы.
Оно включает в себя три модуля: «Реальная математика», «Алгебра», «Геометрия», в целом соответствующие одноимённым модулям ОГЭ. Каждый из модулей пособия состоит из определённого числа уроков, сгруппированных по два.

Формат: pdf

Я сдам ОГЭ! Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы. Ященко И.В., Шестаков С.А.

Пример 4. Расстояние от центра окружности до хорды дли­ной 16 равно 6. Найдите радиус окружности.

Решение. Пусть АВ — данная хорда окружности с цен­тром О (рис. 95). Тогда OA = OB (как радиусы). Поскольку треугольник ОАВ равнобедренный, его высота ОН (которая яв­ляется также медианой и биссектрисой) и будет расстоянием от центра окружности до хорды. Значит, ОН = 6, АН = 8, а искомый радиус OA находится по теореме Пифагора для тре­угольника

Ответ: 10.

Уроки 127—128. Углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружностей

Напомним основные факты об углах, связанных с окружностью, и о взаимном расположении окружностей:

•  центральный угол окружности измеряется дугой окружности, на которую он опирается;

•  угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающе­гося на ту же дугу, и измеряется половиной этой дуги;

•  угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися внутри окруж­ности, равен полусумме дуг, высекаемых на окружности любой из пар вертикальных углов, образованных этими секущими;

• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, высекаемых на окружности любой из пар вертикальных углов, образованных этими секущими;

•  касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку касания;

•  отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны;

•  центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла;

•  две окружности не имеют общих точек в том и только том случае, если рас­стояние между их центрами больше суммы радиусов этих окружностей;

•  две окружности имеют ровно две общие точки (пересекаются в двух точках) в том и только том случае, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов этих окружностей;

•  две окружности имеют ровно одну общую точку (касаются) в том и только том случае, если расстояние между их центрами равно сумме радиусов этих окружностей

(внешнее касание) либо равно разности большего и мень­шего радиусов этих окружностей (внутреннее касание).

Уроки 129—130. Окружность, вписанная в треугольник

Приведём основные факты, связанные с окружностью, вписанной в треугольник:

•  в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну;

•  центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника;

•   радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети его биссектрисы (напомним, что она же является медианой и высотой равно­стороннего треугольника);

•  площадь <S треугольника равна произведению полупериметра р этого треуголь­ника на радиус г вписанной в него окружности: S = рг.

Пример 1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, одна из медиан которого рав­на 12.

Решение. В равностороннем треугольнике все медианы равны и являются также биссектрисами и высотами. Ради­ус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен трети его биссектрисы, т. е. 4.

Ответ: 4.

Уроки 131—132. Окружность, описанная около треугольника

Напомним основные факты, связанные с окружностью, описанной около тре­угольника:

•  около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну;

•  центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересече­ния серединных перпендикуляров к его сторонам;

•  радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен двум третям его высоты (напомним, что она же является медианой и биссектрисой равностороннего треугольника);

•  центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы;

Уроки 133—134. Окружность, вписанная в четырёхугольник

Напомним факты, связанные с окружностью, вписанной в четырёхугольник:

•  в четырёхугольник можно вписать окружность (и притом только одну) в том и только том случае, если суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны;

•  центром окружности, вписанной в четырёхугольник, является точка пересече­ния биссектрис углов четырёхугольника;

•  в параллелограмм можно вписать окружность, только если он является ромбом;

• в ромб (а значит, и в квадрат) можно вписать окружность, центром этой окруж­ности является точка пересечения диагоналей ромба;

•  радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата;

• если в трапецию можно вписать окружность, то диаметр этой окружности равен высоте трапеции;

• площадь S четырёхугольника, в который можно вписать окружность (описанно­го четырёхугольника), равна произведению полупериметра р этого четырёхугольника на радиус г вписанной окружности этого четырёхугольника: S = рг.

Уроки 137—138. Геометрия на клетчатой бумаге

Среди задач по планиметрии особое место в вариантах ОГЭ и ЕГЭ занимают задачи на клетчатой бумаге. В таких задачах данные даются в виде чертежа на бумаге в клетку, причём размеры клеток одинаковы и заданы условием. Это за­дачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами. Клетки в таких задачах, по сути, выполняют роль линейки: посчитав по клеточкам необходимые длины и используя известные гео­метрические факты и свойства, можно довольно быстро получить ответ на вопрос задачи. К этим задачам вплотную примыкают задания на вычисление элементов плоских фигур по готовому чертежу, на котором указаны координаты некоторых точек фигуры (например, вершин треугольника или четырёхугольника), позволя­ющие после выполнения несложных вычислений ответить на вопрос задачи. При этом, как правило, не требуется применения дополнительных формул метода коор­динат. Отметим, что подобные задачи включались в предыдущие уроки; два этих урока предназначены для повторения, обобщения и более полного знакомства с такими задачами.

Уроки 139—140. Выбор верного утверждения

Уроки предназначены для отработки навыков решения задач, связанных с вы­бором одного или нескольких верных утверждений из множества данных. В боль­шинстве случаев правильный ответ на вопрос задачи связан со знанием простей­ших геометрических фактов и утверждений. Такие задачи позволяют организовать экспресс-повторение большинства определений и теорем школьного курса геометрии с целью быстрой диагностики имеющихся пробелов в знаниях и последующего их устранения.

Пример 1. Укажите в порядке возрастания без пробелов, запятых и прочих сим­волов номера верных утверждений.

1)   В любом прямоугольнике диагонали равны.

2)   Существует прямоугольник, диагонали которого различны.

3)   В любом ромбе диагонали равны.

4)   Существует ромб, диагонали которого различны.

5)   В любой трапеции диагонали равны.

6)   Существует трапеция, диагонали которой различны.

[свернуть]

Предложения интернет-магазинов.