Я сдам ОГЭ! Математика. Курс самоподготовки. Технология решения заданий. Ященко И.В., Шестаков С.А.

Учебное пособие «Курс самоподготовки» посвящено методам решения задач. Оно предназначено для эффективной организации подготовки обучающихся 8—9 классов к государственной итоговой аттестации. Для удобства подготовки и выстраивания индивидуальных образовательных траекторий материал пособия разбит на отдельные занятия по разным темам и позволяет познакомиться со всеми типами заданий ОГЭ по математике. Пособие адресовано педагогам, школьникам и их родителям для проверки и самопроверки достижения требований образовательного стандарта к уровню подготовки выпускников.

Формат: pdf

Я сдам ОГЭ! Математика. Курс самоподготовки. Технология решения заданий. Ященко И.В., Шестаков С.А.

Пример 1. На рисунке 56 изображён график квадратич­ной функции.

а)  Найдите значение функции при х = 3.

б)   Найдите значения хУ при которых у = 1.

в)  Определите наибольшее значение функции.

Решение.

а)  Проведём через точку 3 оси абсцисс прямую, парал­лельную оси ординат. Эта прямая пересечёт параболу в точ­ке с ординатой 4.

б)   Проведём через точку 1 оси ординат прямую, парал­лельную оси абсцисс. Эта прямая пересечёт параболу в точ­ках с абсциссами 0 и 4.

в)  Наибольшему значению функции соответствует ордината вершины параболы, она равна 5.

Ответ: а) 4; б) 0; 4; в) 5.

Заметим, что типичной ошибкой при решении задания в) является запись в от­вет абсциссы вершины, а не её ординаты. Следует акцентировать внимание учащих­ся на этом факте.

Пример 2. На рисунке 57 изображён график квадратичной функции у + Ьх + с.

а)   Найдите значение коэффициента с.

б)   Найдите значение коэффициента а.

в)  Найдите значение коэффициента Ь.

Это занятие посвящено более сложным графикам функций и их применению к решению задач, которые можно с некоторой степенью правдоподобия назвать ис­следовательскими. Отметим, что эта сложность в большей степени обусловлена либо формулой, задающей функцию, либо самим условием, требующим исследования вза­имного расположения графиков двух функций и ответа на определённые вопросы о числе их общих точек в зависимости от некоторой величины. Формула, как прави­ло, после определённых преобразований (сокращения дроби, раскрытия модуля, приведения подобных) представляет со­бой формулу, задающую элементарную функцию, графиком которой или частью графика которой является прямая, па­рабола, гипербола или их части, возможно, с удалёнными (выколотыми) точками (последние могут появиться в случае задания функции с помощью алгебраической дроби, область определения которой находят из условия неравенства нулю её знаменателя).

Пример 1. Найдите р и постройте в одной системе ко­ординат графики функций у = -х2 — р и у = 6х + 10, если известно, что они имеют ровно одну общую точку. Опреде­лите координаты этой точки.

Решение.

Составим уравнение по условию задачи: -х2 — р = 6х + + 10, откуда х2 + 6* + р + 10 = 0. Полученное квадратное уравнение должно иметь единственный корень, являющийся абсциссой общей точки графиков. Значит, дискриминант D этого уравнения равен нулю. Из условия равенства нулю дискриминанта получим 9 — р — 10 — 0, откуда р = -1. Тогда уравнение примет вид х2 + бд; + 9 = 0, откуда х в — 3. Ординату общей точки найдём, подставив полу­ченную абсциссу в уравнение прямой: у = -8. Данная ква­
дратичная функция имеет вид у = -х2 + 1. Гра­фиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина имеет коор­динаты (0; 1), точки пересечения с осью абсцисс: (1; 0), (-1; 0). Графиком функции у = 6х + 10 является прямая, проходящая через найденную точку (-3; -8) и точку (0; 10). Графики изобра­жены на рисунке 63.

Ответ: р = -1; (-3; -8).

1. ТРЕУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ

Занятие  47. Прямые, отрезки, углы.

Занятие  48. Равнобедренный и равносторонний треугольники.

Занятие  49. Прямоугольный треугольник.

Занятие  50. Произвольный треугольник.

Занятие  51. Формулы площади треугольника.

Занятие  52. Параллелограмм. Площадь параллелограмма.

Занятие  53. Прямоугольник, квадрат, ромб, их площади.

Занятие  54. Трапеция.

Занятие  55. Площадь трапеции.

Общие рекомендации к занятиям

Задачи по планиметрии с кратким ответом и с развёрнутым ответом (полным решением) встречаются в вариантах ОГЭ по математике среди задач как базового, так и повышенного и высокого уровня сложности.

Задачи с кратким ответом представляют собой достаточно традиционные неслож­ные задачи на вычисление углов, расстояний, длин и площадей плоских фигур, в том числе по готовому чертежу, в некоторых случаях сделанному на бумаге в клетку или в прямоугольной системе координат (с указанием координат данных точек в условии или на чертеже). «Задачи с развёрнутым ответом (полным решением) требу­ют уверенного владения материалом школьной программы по геометрии и умения применять изученные теоремы в более сложных случаях.

Занятие 47. Прямые, отрезки, углы

Первое занятие этого модуля посвящено повторению начальных сведений по гео­метрии. Для решения приведённых здесь задач достаточно представления о том, что такое отрезок и угол, какие прямые называются параллельными, какие — перпен­дикулярными, какие углы называются вертикальными, какие — смежными, как называются пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых третьей. Помимо этих понятий, потребуется знание основных фактов, свя­занных с перечисленными углами:

•  сумма смежных углов равна 180°;

•  вертикальные углы равны;

•  соответственные углы равны;

•  накрест лежащие углы равны;

•  сумма односторонних углов равна 180°;

•  сумма углов треугольника равна 180°.

Пример 1. На рисунке 66 изображены параллельные прямые FE, MN и секущая АВ, пересекающая FE в точке С, a MN в точке D. Выполните следующие задания:

а) Установите соответствие между парами углов и их названиями.

В таблице под каждой буквой укажите номер соответ­ствующего названия.

Занятие 48. Равнобедренный и равносторонний треугольники

Напомним основные факты, связанные с треугольниками:

•  сумма углов треугольника равна 180е;

•  внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника;

•  высоты треугольника пересекаются в одной точке;

•  биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является цен­тром вписанной в треугольник окружности);

•  серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром описанной около треугольника окружности);

•  медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин треугольника;

•  средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее по­ловине.

Важным частным случаем треугольника является равнобедренный треугольник, которому и посвящены два этих урока. В таком треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, по­этому на ней и находятся центры вписанной и описанной окружностей.

Частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний треугольник. В нём каждая высота является медианой и биссектрисой, поэтому центры вписанной и описанной окружностей совпадают и R = 2г.

Некоторые задания по планиметрии ОГЭ и ЕГЭ по математике представляют со­бой задачи на вычисление длин, площадей и углов по данным чертежам на клетчатой бумаге (сетке). Бумага в клетку играет в данном случае роль своего рода «помощ­ника условия», позволяя найти длины отрезков, расположенных на линиях сетки, а затем с их помощью вычислить, например, длины других отрезков или площади плоских фигур.

Пример 1. Найдите угол С треугольника АБС, если АВ = ВС, а внешний угол при вершине В равен 56°. Ответ дайте в градусах.

Решение. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним углов. Поэтому сумма углов при основании данного равнобедренного треуголь­ника равна 56°, а каждый из них равен половине этой величины, т. е. 28°.

Ответ: 28.

Пример 2. Найдите периметр равностороннего треугольника, если одна из его средних линий равна 6 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение. Поскольку все стороны равностороннего треугольника равны и каждая из них вдвое больше его средней линии, то длина стороны данного равностороннего треугольника будет равна 12 см, а его периметр — 36 см.

Ответ: 36.

Занятие 49. Прямоугольный треугольник

Среди всех треугольников особое место занимает прямоугольный треугольник. В прямоугольном тре­угольнике один из катетов можно считать высотой, а другой — основанием. Поэтому площадь прямоуголь­ного треугольника равна половине произведения ка­тетов. Разумеется, все остальные формулы площади треугольника применимы и к прямоугольному тре­угольнику. Кроме того, для прямоугольного треуголь­ника справедлива теорема Пифагора, а синус, коси­нус или тангенс его острого угла можно найти как отношение катета к гипотенузе или катета к катету. Таким образом, для прямоугольного треугольника (рис. 73) справедливы следующие основные формулы:

В прямоугольном треугольнике один из катетов можно считать высотой, а дру­гой — основанием. Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Разумеется, все остальные формулы площади треугольника применимы и к прямоугольному треугольнику.

Пример 1. Стороны треугольника равны 10, 10 и 12. Найдите его площадь.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 79), у ко­торого АВ = ВС = 10, АС = 12. Этот треугольник равно­бедренный, поэтому его высота ВН является его медианой, т. е. АН — НС = 6. Применив теорему Пифагора к пря­моугольному треугольнику АВН, найдём катет ВН. Полу­чим ВН = ^АВ2 — АН2 = yjlOO — 36 = 8. Площадь S тре­угольника равна половине произведения его основания на высоту.

Приведём основные факты, связанные с параллелограммом:

•  противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны;

• сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной из его сторон, равна 180 ;

• диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть а и Ь — длины двух смежных сторон параллелограмма, Ла, hb — соответ­ственно высоты, проведённые к этим сторонам, у — угол между этими сторонами, S — площадь параллелограмма. Основные формулы для вычисления площади па­раллелограмма: S = aha = bhb; S = ab siny.

Кроме того, для параллелограмма, разумеется, справедлива и формула площади произвольного выпуклого четырёхугольника: если d] и d? — длины диагоналей вы­пуклого четырёхугольника, у — угол между ними, то площадь S этого четырёхуголь­ника равна полупроизведению диагоналей четырёхугольника на синус угла между ними.

Занятие 53. Прямоугольник, квадрат, ромб, их площади

Важнейшими частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб, квадрат. Они обладают всеми свойствами параллелограмма, но для них спра­ведливы и некоторые дополнительные свойства, которыми произвольные параллело­граммы не обладают:

•  диагонали прямоугольника (а значит, и квадрата) равны;

•  диагонали ромба (а значит, и квадрата) взаимно перпендикулярны.

Площадь S прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон а и

b.. Площадь квадрата S равна квадрату его стороны а. Для вычисления площадей прямоугольника и ромба можно использовать формулу пло­щади выпуклого четырёхугольника. Поскольку диагонали d1 и d2 ромба взаимно перпендикулярны, из формулы следует, что площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей:

Не в каждый параллелограмм можно вписать окружность, и не для каждого параллелограмма существует описанная окружность. Описать окружность можно только около прямоугольника (и, следовательно, квадрата); её центром будет точ­ка пересечения диагоналей прямоугольника. Вписать окружность можно только в ромб (и, следовательно, в квадрат); её центром будет точка пересечения диагоналей ромба.

Пример 3. Найдите острый угол прямоугольной трапе­ции, основания которой равны 16 и 8, а меньшая боковая сторона равна 8. Ответ дайте в градусах.

Решение. В любой прямоугольной трапеции есть два прямых угла, один тупой и один острый. Рассмотрим пря­моугольную трапецию ABCD, в которой АВ = AD = 8, CD = 16 (рис. 89). Искомый угол — угол С. Проведём вы­соту ВН. Она равна AD и равна 8. Тогда DH = АВ = 8 (как противоположные стороны прямоугольника ABHD), и, значит, СН = CD — DH « 8. Но тогда в прямоугольном треугольнике теты равны, значит, это треугольник равнобедренный и прямоугольный равен 45°.

ОКРУЖНОСТИ И КООРДИНАТЫ ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ

Занятие 56. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга.

Занятие 57. Углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окруж­ностей.

Занятие 5В. Окружность, вписанная в треугольник.

Занятие 59. Окружность, описанная около треугольника.

Занятие 60. Окружность, вписанная в четырёхугольник.

Занятие 61. Окружность, описанная около четырёхугольника.

Занятие 62. Геометрия на клетчатой бумаге и в координатах.

Занятие 63. Выбор верного утверждения.

Занятие 64. Практические и прикладные задачи по планиметрии на ОГЭ по

математике.

Занятие 65. Задачи на доказательство. Более сложные задачи.

Общие рекомендации к занятиям

В этом разделе представлены занятия, посвящённые окружности и кругу, поня­тиям, связанным с окружностью, а также методу координат. Заключительная часть модуля предназначена для подготовки к решению задач с практическим содержани­ем, задач на выбор верного утверждения из нескольких данных, задач на доказа­тельство и более сложных задач на вычисление.

Занятие 56. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга

Приведём основные факты по теме «Окружность и круг», необходимые для ре­шения соответствующих заданий ОГЭ по математике с кратким ответом:

•  центральный угол окружности измеряется дугой этой окружности, на которую он опирается;

•   вписанный угол окружности равен половине центрального угла и измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

. касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, про­ведённому в точку касания;

•  отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны;

•  центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла;

•  длина окружности равна 2яг, где г — радиус окружности;

•  площадь круга равна яг2, где г — радиус круга.

Среди задач по планиметрии особое место в вариантах ОГЭ и ЕГЭ занимают задачи на клетчатой бумаге. В таких задачах данные даются в виде чертежа на бумаге в клетку, причем размеры клеток одинаковы и заданы условием. Это за­дачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами. Клетки в таких задачах, по сути, выполняют роль линеики: посчитав по клеточкам необходимые длины и используя известные гео­метрические факты и свойства, можно довольно быстро получить ответ на вопрос задачи. К этим задачам вплотную примыкают задания на вычисление элементов плоских фигур по готовому чертежу, на котором указаны координаты некоторых точек фигуры (например, вершин треугольника или четырёхугольника), позволя­ющие после выполнения несложных вычислений ответить на вопрос задачи. При этом, как правило, не требуется применения дополнительных формул метода ко­ординат. Отметим, что подобные задачи включались в предыдущие занятия. Заня­тие 62 посвящено повторению, обобщению и более полному знакомству с такими задачами.

Это занятие нацелено на отработку навыков решения задач, связанных с вы­бором одного или нескольких верных утверждений из множества данных. В боль­шинстве случаев правильный ответ на вопрос задачи связан со знанием простей­ших геометрических фактов и утверждений. Такие задачи позволяют организовать экспресс-повторение большинства определений и теорем школьного курса геометрии с целью быстрой диагностики имеющихся пробелов в знаниях и последующего их устранения.

Пример 1. Укажите в порядке возрастания без пробелов, запятых и прочих сим­волов номера верных утверждений.

1)   В любом прямоугольнике диагонали равны.

2)   Существует прямоугольник, диагонали которого различны.

3)   В любом ромбе диагонали равны.

4)   Существует ромб, диагонали которого различны.

5)   В любой трапеции диагонали равны.

6)   Существует трапеция, диагонали которой различны.

Рис. 113
Решение. По свойству прямоугольника первое утверждение является верным, второе нет. Аналогично из оставшихся утверждений верными являются 4 и б.

Пример 2. Укажите в порядке возрастания без пробелов, запятых и прочих сим­волов номера верных утверждений.

1)   В любом выпуклом четырёхугольнике все углы острые.

2)   Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого острые.

3)   В любом выпуклом четырёхугольнике все углы прямые.

4)   Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого прямые.

5)   В любом выпуклом четырёхугольнике все утлы тупые.

6)   Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого тупые.

Решение. Первое утверждение не является верным, пример — квадрат. Второе утверждение не является верным, поскольку сумма любых четырёх острых углов меньше 360° — суммы углов выпуклого четырёхугольника. Третье утверждение не является верным, пример — трапеция. Четвёртое утверждение является верным, пример — прямоугольник. Пятое утверждение не является верным, поскольку сумма любых четырёх тупых углов больше 360° — суммы углов выпуклого четырёхуголь­ника. По этой же причине не является верным и шестое утверждение.

Ответ: 4.

[свернуть]

Предложения интернет-магазинов.