ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Тематический тренажер. Теория вероятностей и элементы статистики. Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.

Поделитесь страницей

 

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно, как нам кажется, рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в контрольных измерительных материалах (КИМ) ЕГЭ и ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики: правила суммы и произведения; комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний. С такой же подробностью ведётся изложение основных понятий математической статистики, на примерах показаны отличия выборочного среднего от моды и медианы; дано пояснение, в каких случаях какое именно из этих средних нужно использовать.

Формат: pdf

ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Тематический тренажер. Теория вероятностей и элементы статистики. Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.

ЧАСТЬ I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
Возникновение понятия вероятности (случая, шанса, объективной возможности) относится к глубокой древности. Зарождение понятий, связанных с вероятностью, можно увидеть у философов Демокрита (древнегреческий философ, 470-460 гг. до н.э.) и Лукреция (Тит Лукреций Кар — древнеримский философ и поэт, 99-55 гг. до н.э.). Однако они не оценивали её (вероятность, шанс, возможность) числом. В настоящее время принято считать, что зарождение теории ве-роятностей как математической науки отражено в переписке великих французских ученых Блеза Паскаля (1623-1662) и Пьера Ферма (1601-1665), которая относится примерно к 1654 году и была опубликована сыном П. Ферма. В этой переписке обсуждались ответы на вопросы маркиза (chevalier) де Мерэ, заданные им Б.Паскалю, о вероятности исходов некоторых игр, связанных с играми в кости и в карты. Принято считать, что это вопрос о справедливом разделе ставки при неоконченной игре . Впоследствии наука об исчислении вероятностей развивалась в работах X. Гюйгенса, Я. Бернулли, С. Лапласа, Б. Пуассона, П. Л. Чебышёва, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова. Современная теория вероятностей сформировалась в 30-х годах XX столетия в результате аксиоматического подхода к её определению, предложенного А. Н. Колмогоровым.
1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Предположим, что производится подбрасывание монеты. Тогда шанс, вероятность того, что монета упадёт на пол и останется на ребре, каждый оценит, конечно, нулём; возможность, вероятность выпадения «орла» каждый оценит числом 0,5 или 50%. Таким же числом будет оценено выпадение «решки», «числа». Когда даются такие оценки, мы предполагаем, что монета самая обыкновенная, правильная: в виде тонкого диска, центр масс которого находится в его геометрическом центре. А если монета фальшивая или достаточно «толстая»? В этом случае вероятности тех же событий, исходов опыта указать будет труднее. В этом случае потребуются многократные испытания этой монеты при одинаковых условиях подбрасывания. В результате частоты появления возможных исходов не будут одинаковыми и распределятся (при достаточно большом повторении опыта) в некоторой определённой закономерности.
Пусть, например, при 1000-кратном (N = 1000) подбрасывании в
одинаковых условиях некой монеты частоты (т) появления трёх возможных исходов распределились так, как указано в таблице.
Статистическое определение вероятности события не позволяет вычислить эту вероятность до проведения испытаний (априори), а во многих случаях знать вероятность того или иного события очень важно именно до его наступления.
Вот простейший пример: прогноз погоды. Этот прогноз всегда носит вероятностный характер. Вычисление (лучше сказать оценка) вероятности выпадения дождя, той или иной температуры воздуха, возникновения урагана, цунами, землетрясения и т.п. производится с помощью разработанных математических моделей с учётом большого числа факторов и с использованием статистических данных. Эти модели постоянно совершенствуются, что приводит к повышению качества прогноза погоды. Все эти модели достаточно сложны.
Важно понять, что каждое событие объективно имеет определённую вероятность, которую можно выразить определённым числом.
В некоторых идеализированных случаях мы можем легко пред-сказать результат опыта (испытания, соревнования и т.п.) с большой долей уверенности, в других случаях сделать это сложнее. Приведём примеры.
Пример 1.2. Пусть ученик выучил 15 вопросов из 20 и на экзамене ему достанется один из этих двадцати вопросов. Ясно, что получить билет, в котором содержится один из выученных вопросов, можно оценить 15 шансами из 20, или, что то же самое, 75 из 100, или 75%, или числом 0,75.
Пример 1.3. Предположим, вам нужно открыть кодовый замок на входной двери. Известно, что код состоит из 3 цифр: 1, 2, 3. Чтобы открыть замок, нужно набрать эти три цифры в определённом порядке. Каким числом можно оценить успех эксперимента: «замок откроется с первого раза»? Выпишем все возможные комбинации: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Больше комбинаций, очевидно, нет. Понятно, что успех — открытие замка с первого раза — можно оценить числом —. Это означает, что в среднем, проведя серии, например, по 6 испытаний, только в одном случае из шести замок будет открыт с первого раза.
Пример 1.4. Рассмотрим тот же пример с открытием замка, но добавим дополнительное условие: первая цифра кода — чётная. В этом случае вероятность «открыть замок с первого раза» будет равна
2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
В математике вероятность каждого события оценивают неотрицательным числом, не большим единицы (но не процентами!). Для вероятности события А принято обозначение Р(А), которое читается
так: Р(А) — «вероятность события А» . Таким образом, можем на-писать неравенство 0<Р(А)<1, которое и показывает, что вероятность любого события есть определённое неотрицательное число, не большее единицы.
Принято различать три типа событий:
♦ невозможное событие (часто обозначатся символом 0) — это такое событие, которое не может произойти в результате данного испытания. Вероятность невозможного события равна 0: Р(0) = 0.
Например, при подбрасывании игрального кубика (игральной кости) с очками от .1 до 6, невозможно выпадение 10 очков при одном бросании. Вероятность события «выпало число очков, большее 10», равна 0. Вероятность того, что в шахматной партии игрок передвинет пешку на четыре клетки по диагонали также равна нулю и т.д.
♦ достоверное событие (часто обозначают символом П) — это такое событие, которое обязательно происходит в результате данного испытания. Вероятность достоверного события считают равной 1: Р{Q) = 1. Например, при бросании того же кубика вероятность события «выпало число очков, меньшее 10», равна 1.
♦ случайное событие (принято обозначать прописной (заглавной, большой) буквой латинского алфавита) — это такое событие, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания. Другими словами: появление случайного события можно предсказать только с некоторой долей уверенности, которую можно выразить вполне определённым положительным числом, меньшим 1
Мы уже отмечали, что в различных сферах деятельности полезно уметь оценивать шансы, или вероятность того или иного случайного события априори, то есть без статистических исследований, как говорят, «до опыта». Этим, собственно, и занимается теория вероятностей. Для вычисления (оценивания) вероятностей случайных событий — априорного исследования, используют различные модели этих событий и их исходов.
Наиболее простой моделью события для вычисления его вероятности является классическая модель или так называемое классическое определение вероятности.
Эта модель построена по следующей схеме, которую сначала поясним на примерах, рассмотренных в пункте 1.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТИ
Рассмотрим простейшие примеры применения классического определения вероятности события, которое чаще всего предлагается в различных экзаменационных материалах. Вы заметили, что для его применения необходимо выполнить некоторые шаги. Перечислим эти шаги.
Шаг 1. Перечислить все без исключения исходы эксперимента (опыта) так, чтобы эти исходы были бы естественным образом равно- возможными и найти их количество. Нужно знать число N всех равновозможных исходов опыта.
Шаг 2. Сформулировать, какое именно событие является рассматриваемым событием А, используя найденные в результате шага 1 элементарные события. Здесь нужно перечислить все без исключения равновозможные события, которые благоприятствуют событию А. Нужно знать число т всех равновозможных исходов опыта, благоприятствующих рассматриваемому событию А.
4.2. Правило произведения
Опять рассмотрим поясняющий пример. Предположим, что вам предстоит сделать выбор одного теннисного мяча, одной теннисной ракетки и одной теннисной майки, если имеется 4 мяча фирмы Dunlop, 2 мяча фирмы Slazinger, 2 ракетки фирмы Slazinger, 1 ракетка фирмы Head и 2 майки фирмы Lacoste. Сколькими способами вы можете выбрать тройку {ракетка, мяч, майка)!
Решение. Здесь разобраться сложнее. Поскольку по условию для случайного выбора тройки предметов {ракетка, мяч, майка) фирма- изготовитель не важна, то у нас имеется 6 мячей, 3 ракетки и 2 майки. Сначала выберем пару {ракетка, мяч). Для этого составим таблицу.
Пример 4.7. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании трёх игральных костей по правилу произведения всего может быть 6 • 6 • 6 = 216 элементарных исходов: N = 216.
Найдем число т благоприятных исходов, при каждом из которых выпадает сумма в 10 очков. Попробуем перечислить все случаи. Эта ситуация более сложная и нужно быть внимательнее.
Пусть на первой кости выпало 1 очко, тогда на двух других костях должно выпасть 9 очков. Получаем следующие исходы: 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 5. Мы выписываем слагаемые по возрастанию, чтобы учесть различные способы их расположения и чтобы в дальнейшем избежать повторов. В данном случае все слагаемые каждой из сумм различны, поэтому по правилу произведения для каждой суммы получаем по 6 исходов. В самом деле, для суммы 1+3 + 6 слагаемое 1 можно поставить на одно из трёх мест, слагаемое 3 на одно из двух оставшихся мест и слагаемое 6 — на единственное оставшееся место. Всего получаем 3-21 = 6. Аналогично и для суммы 1 + 4 + 5 можем получить 6 различных исходов. (Полезно выписать их все, чтобы ещё раз увидеть, как работает правило произведения). Итак, с 1 имеем 12 способов.

[свернуть]

Похожие страницы